柯西乘積

在數學上，以法國數學家奧古斯丁·路易·柯西命名的柯西乘積，是指兩組數列$a_{n},b_{n}$的離散卷積。

$c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.$

該數列乘積被認為是自然數$R[\mathbb {N} ]$的半群環的元素。

級數

一個特別重要的例子是考慮兩個嚴格的形式級數（不需要收斂）$a_{n},b_{n}$：

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n},\qquad \sum _{n=0}^{\infty }b_{n},$

一般地，對於實數和複數，柯西乘積定義為如下的離散卷積形式：

$\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n},$

這裏 $c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k},\,n=0,1,2,\ldots$

「形式」是指我們對級數運算時不考慮是否收斂，參見形式冪級數。

人們希望，通過對兩組級數做實際卷積的有限和的類推，得到無窮級數

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}$

等於如下乘積：

$\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right)$

就如同兩個數列的和是有限範圍一樣做乘法。

在充分良態的情況下，上述式子成立。而更重要的一點，儘管這兩個無窮級數可能不收斂，它們的柯西乘積仍可能存在。

示例

有窮級數

對於$i>n$、$i>m$，有$x_{i}=0$，$y_{i}=0$ 即為有窮級數，則$\sum x$和 $\sum y$ 柯西乘積可以展開為$(x_{0}+\cdots +x_{n})(y_{0}+\cdots +y_{m})$，因此可以直接計算乘積。

無窮級數

• 對某些$a,b\in \mathbb {R}$，構造$x_{n}=a^{n}/n!\,$和$y_{n}=b^{n}/n!\,$，由定義和二項式展開可知：

$C(x,y)(n)=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a^{i}}{i!}}{\frac {b^{n-i}}{(n-i)!}}={\frac {(a+b)^{n}}{n!}}$

形式上， $\exp(a)=\sum x$，$\exp(b)=\sum y$，我們已表明$\exp(a+b)=\sum C(x,y)$。由於該兩個絕對收斂數列的柯西乘積等於兩個數列極限的乘積，（見下面的證明），因此我們就可證明這個表達式對於 $a,b\in \mathbb {R}$有$\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)$

• 另外一個例子，令$x(n)=1$（$n\in \mathbb {N}$），則 $C(x,x)(n)=n+1$對所有$n\in \mathbb {N}$成立，則柯西乘積 $\sum C(x,x)=(1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\dots )$ ，該乘積不收斂。

收斂和梅爾滕斯定理

令x, y為實數數列，弗蘭茲·梅爾滕斯（Franz Mertens）提出，如果級數$\sum y$收斂到Y，且級數$\sum x$絕對收斂到X，則他們的柯西乘積 $\sum C(x,y)$收斂到XY。

對於兩個級數為條件收斂時，結論未必成立。如下反例所示：

例子

考慮下述兩交錯級數：

$a_{n}=b_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n+1}}}\,,$

它們都是收斂的（其絕對值構成的級數因比較審斂法和調和級數的發散性而發散）。其柯西乘積的項由下式給出：

$c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{\sqrt {k+1}}}\cdot {\frac {(-1)^{n-k}}{\sqrt {n-k+1}}}=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{\sqrt {(k+1)(n-k+1)}}}$

其中整數 n ≥ 0。因為對於所有 k ∈ {0, 1, ..., n} 我們都有不等式 k + 1 ≤ n + 1 及 n – k + 1 ≤ n + 1，故對分母中的根式有 √(k + 1)(n − k + 1) ≤ n +1。因此，由於共有 n + 1 個被加項，故對於所有的整數 n ≥ 0有

$|c_{n}|\geq \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{n+1}}=1$

因此，c_n 在 n → ∞ 時並不趨於 0，級數 ∑ c_n 發散（項測試）。

梅爾滕斯定理的證明

令$X_{n}=\sum _{i=0}^{n}x_{i}$，$Y_{n}=\sum _{i=0}^{n}y_{i}$ ，$C_{n}=\sum _{i=0}^{n}C(x,y)(i)$，$C_{n}=\sum _{i=0}^{n}\sum _{k=0}^{i}x_{k}y_{i-k}=\sum _{i=0}^{n}Y_{i}x_{n-i}$ (重排後)。

則$C_{n}=\sum _{i=0}^{n}(Y_{i}-Y)x_{n-i}+YX_{n}$，對任意給定的 ε > 0，因為$\sum x$絕對收斂，$\sum y$收斂，因此存在一個整數N，對於任意n ≥ N $|Y_{n}-Y|<{\frac {\varepsilon /4}{\sum _{n=0}^{\infty }|x_{n}|+1}}$ ，和存在一個正整數M，對於所有 $n\geq M$ ，有$|x_{n-N}|<{\frac {\varepsilon /4}{N\sup |Y_{n}-Y|+1}}$（由級數絕對收斂，則式子收斂到0），同樣的，存在一個整數L ，如果有 $n\geq L$，則 $|X_{n}-X|<{\frac {\varepsilon /2}{|Y|+1}}$。

因此，對於所有n大於N, M, L，有：

$|C_{n}-XY|=|\sum _{i=0}^{n}(Y_{i}-Y)x_{n-i}+Y(X_{n}-X)|\leq \sum _{i=0}^{N-1}|Y_{i}-Y||x_{n-i}|+\sum _{i=N}^{n}|Y_{i}-Y||x_{n-i}|+|Y||X_{n}-X|<\varepsilon$

根據收斂的定義，即：$\sum C(x,y)\to XY.$

切薩羅定理

如果x，y是實數數列，且$\sum x\to A$，$\sum y\to B$，則有：

${\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=0}^{n}C(x,y)_{n}\right)\to AB.$

推廣

所有上述證明也可推廣到$\mathbb {C}$複數級數。柯西乘積可以定義在乘法為內積的歐式空間$\mathbb {R} ^{n}$上。這種情況下，如果兩組數列絕對收斂，則柯西乘積絕對收斂到數列極限的內積 。

與卷積函數的關係

我們可以定義柯西乘積為雙向無限數列，視為$\mathbb {Z}$上的函數。這種情況並非總能定義柯西乘積。例如：常數級數1和其本身的柯西乘積，$(\dots ,1,\dots )$。

有的有一些配對，比如任何級數與一個有限級數的乘積，$\ell ^{1}\times \ell ^{\infty }$的乘積，這與L^p空間有關。