積分判別法

積分判別法，又稱柯西積分判別法、麥克勞林-柯西判別法，是判斷一個實級數或數列收斂的方法。當$f(x)$非負遞減時，級數$\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$收歛若且唯若積分$\int _{1}^{\infty }f(x)\,dx$有限。在17、18世紀，馬克勞林和奧古斯丁·路易·柯西發展了這個方法。

證明

考慮如下積分

$\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx$

注意$f(x)$單調遞減，因此有：

$f(n+1)\leq \int _{n}^{n+1}f(x)\,dx\leq f(n)$

進一步地，考慮如下求和：

$\sum _{n=1}^{k}f(n+1)\leq \sum _{n=1}^{k}\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx\leq \sum _{n=1}^{k}f(n)$

中間項的和為：

$\sum _{n=1}^{k}\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx=\int _{1}^{k+1}f(x)\,dx$

對上述不等式取極限$k\to \infty$，有：

$\sum _{n=1}^{\infty }f(n+1)\leq \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx\leq \sum _{n=1}^{\infty }f(n)$

因此，若積分$\int _{1}^{\infty }f(x)\,dx$收斂，則無窮級數$\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$收斂；若積分發散，則此級數發散。

例子

調和級數$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$是發散的，因為它的原函數是自然對數：

$\int _{1}^{M}{\frac {1}{x}}\,dx=\ln x{\Bigr |}_{1}^{M}=\ln M\to \infty$，當$M\to \infty$時。

而級數$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{1+\varepsilon }}}$則對所有的ε > 0都是收斂的，因為：

$\int _{1}^{M}{\frac {1}{x^{1+\varepsilon }}}\,dx=-{\frac {1}{\varepsilon x^{\varepsilon }}}{\biggr |}_{1}^{M}={\frac {1}{\varepsilon }}{\Bigl (}1-{\frac {1}{M^{\varepsilon }}}{\Bigr )}\leq {\frac {1}{\varepsilon }}$，對於所有$M\geq 1.$

參考

• Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3) ISBN 0486601536
• Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43) ISBN 0521588073