在数学中,特别是矩阵论里,若尔当矩阵是矩阵的一种,又称若尔当块(作为另一个矩阵的一部分时)。当系数取在某个环
上时(其中的零元和乘法单位元分别记为0和1),若尔当矩阵可以写成如下形式:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&\lambda \\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8106c64d99fe93f8fc3a866c06a3d99ef110640)
其对角线上全都是同一个元素
,而对角线上一排(即所有第
行第
列)都是1,其余位置上都是0。
可以看到只要确定了对角线上的系数
和矩阵的大小
,就确定了一个若尔当矩阵。这样一个若尔当矩阵被记为
。
如果一个分块对角矩阵的每一个分块都是若尔当块,那么这个矩阵叫做若尔当形矩阵,或若尔当标准型。例如以下矩阵:
![{\displaystyle J={\begin{bmatrix}J_{\lambda _{1},m_{1}}&0&0&\cdots &0\\0&J_{\lambda _{2},m_{2}}&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&J_{\lambda _{s-1},m_{s-1}}&0\\0&0&0&0&J_{\lambda _{s},m_{s}}\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84953c438f0052e8504b1ecb5cddee1d52f85136)
以上的若尔当形矩阵也可以记成
给定的一个若尔当矩阵
可以分解为:
![{\displaystyle J_{\lambda ,n}=\lambda I_{n}+N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5395a6c067e4734ed45e7167f7db4a387644122c)
其中
是n 维的单位矩阵,而N 则是一个幂零矩阵:
![{\displaystyle N={\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d165bdc3667f142af14043c7c0abe949e1cf3622)
矩阵N 满足
。
- 金朝嵩、段正敏、王汉明. 线性代数. 清华大学出版社. 2006年.