滤波问题

在随机过程理论中的滤波问题（Filtering problem）是指针对信号处理及相关领域中，许多状态估测问题的数学模型。大致概念是从不完整的、可能包括噪声的观测值中，建立有关系统真实值的“最佳估测”。最佳非线性滤波问题（甚至也包括非平稳过程问题）由Ruslan L. Stratonovich（1959年、1960年）找到解答，在Harold J. Kushner的研究及Moshe Zakai的研究中也有提到，Zakai建立了滤波器在条件几率未归一情况下的简化动态模型，称为Zakai方程。不过一般情形下的解是无限维的。

目前已针对一些近似以及一些特定条件有深入的研究。例如在高斯随机变数的假设下，最佳解是线性滤波器，也称为维纳滤波及卡尔曼滤波。更一般的情形下，其解为无限维度，为了在有限内存的电脑中计算，需要进行有限维度的近似，有限维的近似型非线性滤波器比较会以启发为基础，例如扩展型卡尔曼滤波器或是假定密度滤波器（Assumed Density Filters），也有更方法论导向的作法，例如Projection Filters，其中有些子系列恰好和假定密度滤波器相同。

一般来说，若可以适用分离原理，这些滤波器也可以成为最优控制问题解的一部分。例如在LQG控制最佳控制问题中，其估测部分的解就是卡尔曼滤波。

数学表示

考虑概率空间 (Ω, Σ, P)，并且假设在n维度欧几里得空间 Rⁿ的系统，其在时间t的（随机）状态Y_t为随机变量 Y_t : Ω → Rⁿ，可以由以下形式伊藤清随机微分方程的解来求得

$\mathrm {d} Y_{t}=b(t,Y_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (t,Y_{t})\,\mathrm {d} B_{t},$

其中B是标准p维布朗运动，b : [0, +∞) × Rⁿ → Rⁿ为漂移场（drift field），且σ : [0, +∞) × Rⁿ → R^n×p是扩散场（diffusion field）。假设R^m内在每一个时间的观测H_t（其中m和n可能不同）由下式决定

$H_{t}=c(t,Y_{t})+\gamma (t,Y_{t})\cdot {\mbox{noise}}.$

配合随机微分方程的伊藤表示法，令

$Z_{t}=\int _{0}^{t}H_{s}\,\mathrm {d} s,$

因此可以得到有关观测Z_t的随机积分表示式：

$\mathrm {d} Z_{t}=c(t,Y_{t})\,\mathrm {d} t+\gamma (t,Y_{t})\,\mathrm {d} W_{t},$

其中W表示标准r维的布朗运动，和B和初始条件Y₀无关，c : [0, +∞) × Rⁿ → Rⁿ，且 γ : [0, +∞) × Rⁿ → R^n×r

可以在所有t及x，以及特定常数C的情形下，使下式成立：

${\big |}c(t,x){\big |}+{\big |}\gamma (t,x){\big |}\leq C{\big (}1+|x|{\big )}$

滤波问题如下：给定在0 ≤ s ≤ t时间内的观测量Z_s for 0 ≤ s ≤ t，依上述观测值，针对系统真实状态Y_t的最佳估测Ŷ_t是什么？

因为“依上述观测量为基础”，表示Ŷ_t是根据Z_s观测量中Σ-代数下的可测函数。令K = K(Z, t) 是所有数值为Rⁿ，平方可积分，而且G_t可量测随机函数Y的集合：

$K=K(Z,t)=L^{2}(\Omega ,G_{t},\mathbf {P} ;\mathbf {R} ^{n}).$

因为要求是“最佳估测”，表示Ŷ_t会让Y_t和K集合内所有候选估测值之间的均方差有最小值：

$\mathbf {E} \left[{\big |}Y_{t}-{\hat {Y}}_{t}{\big |}^{2}\right]=\inf _{Y\in K}\mathbf {E} \left[{\big |}Y_{t}-Y{\big |}^{2}\right].\qquad {\mbox{(M)}}$

基本结论：正交投影

候选估测值的空间K(Z, t)是希尔伯特空间，根据希尔伯特空间的理论，可以推得最小值问题（M）的解Ŷ_t可以表示为下式

${\hat {Y}}_{t}=P_{K(Z,t)}{\big (}Y_{t}{\big )},$

其中P_K(Z,t)表示将L²(Ω, Σ, P; Rⁿ)映射到线性子空间 K(Z, t) = L²(Ω, G_t, P; Rⁿ)的正交投影。而且，有关其条件期望，可知道若F是Σ中的次σ代数，则正交投影

$P_{K}:L^{2}(\Omega ,\Sigma ,\mathbf {P} ;\mathbf {R} ^{n})\to L^{2}(\Omega ,F,\mathbf {P} ;\mathbf {R} ^{n})$

也就是条件期望运算子E[·|F]，也就是说

$P_{K}(X)=\mathbf {E} {\big [}X{\big |}F{\big ]}.$

因此

${\hat {Y}}_{t}=P_{K(Z,t)}{\big (}Y_{t}{\big )}=\mathbf {E} {\big [}Y_{t}{\big |}G_{t}{\big ]}.$

这个基本结果是滤波理论中，广义Fujisaki-Kallianpur-Kunita方程的基础。

相关条目

• 平滑问题和滤波问题有紧密关系。
• 滤波器
• 信号处理中的滤波器 (信号处理)
• 卡尔曼滤波是滤波问题及平滑问题中最著名的解
• 平滑

参考资料

• Jazwinski, Andrew H. Stochastic Processes and Filtering Theory. New York: Academic Press. 1970. ISBN 0-12-381550-9. 
• Øksendal, Bernt K. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications Sixth. Berlin: Springer. 2003. ISBN 3-540-04758-1.  (See Section 6.1)