复对数(英语:Complex logarithm)为自然对数延伸到非零复数的函数,是以下两个定义中的一个,这两个定义彼此也密切相关:

  • 非零复数的复对数,定义为可以使的任意复数[1][2]。此复数可以表示为[1]。若极坐标表示为,其中是实数,,则的一个复对数,的所有复对数会是,其中的为整数[1][2]。对数会在复数平面上在一条垂直线上等距排列。
  • 复数值函数,定义在集合中非零复数中的一个子集合,满足,针对里的所有。这样的复数函数类似实数的自然对数函数,后者是实数指数函数反函数,因此针对所有的正实数x,可以满足eln x = x。复对数函数可以用有关实数值函数显式公式来建立,用的积分,或是用解析延拓的方式建立。
复对数的一个分支。其色相表示复对数的辐角(极坐标下相对原点的角度),其颜色的饱和度及亮度表示复对数的绝对值图片的档案页中有列出其颜色对应的数值

没有在整个复数域均有定义的连续复指数函数。处理此问题的方式包括分支英语Branch point、相关的黎曼曲面、以及复数指数函数的部分反函数(partial inverse)。主值(principal value)定义了特定的复指数函数,除了在负实数轴之外都连续。是不考虑负实数和0的复平面。这是(实数)自然对数的解析延拓

参考资料

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Ahlfors, Section 3.4.
  2. ^ 2.0 2.1 Sarason, Section IV.9.

书目

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