一矩陣

所有元素皆為1的矩陣

數學中,一矩陣又稱為全一矩陣,是指所有元素皆為1的矩陣[1],通常以符號來表示,並以下標符號表示矩陣的維度[2],例如:

部分文獻將之稱為單元矩陣單位矩陣(英語:unit matrix[3][2])。但「單位矩陣」一詞更常代表主對角線為一、其餘為零的單位矩陣[3][4]:71,兩者是不同的矩陣。

類似地,一向量全一向量是指只所有元素皆為1的向量,可以視為有一行或只有一列的全一矩陣,其也不應與單位向量混淆。

特別地,全一矩陣單位矩陣是等價的,即。對於所有維度大於或等於2的全一矩陣,若其為方陣,則其行列式為0。[2]

性質

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所有的 的全一方陣(為方陣的全一矩陣) 有以下性質:

  •   [5]
  •   行列式 。對於小於2的情況,行列式為1,即 。(若也將 考慮進來,則若將空矩陣也視為一種全一矩陣,則其行列式也為1[6]
  • 全一矩陣 特徵多項式 
  • 全一矩陣 極小多項式 
  • 全一矩陣 為1、特徵值 (代數重數為1)和0(代數重數 [7]
  •  ,其中 [8]
  • 全一矩陣 阿達瑪乘積單位元素[9]

當全一矩陣 矩陣運算時,以下附加性質成立:

  • 全一矩陣 半正定矩陣
  •  冪等矩陣[8]
  • 全一矩陣 矩陣指數 

應用

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全一矩陣可以應用於數學領域中的組合學,特別是在涉及代數方法的圖論中。舉例來說,如果  個頂點無向圖 的鄰接矩陣,且 是與 相同維度的全一矩陣,則若 時, 正則圖,反之亦然。[10]

參見

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參考文獻

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  1. ^ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R., 0.2.8 The all-ones matrix and vector, Matrix Analysis, Cambridge University Press: 8, 2012 [2022-04-24], ISBN 9780521839402, (原始內容存檔於2022-04-24) .
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Weisstein, Eric W. (編). Unit Matrix. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語). 
  3. ^ 3.0 3.1 簡秋記. 單位矩陣 unit matrix. 力學名詞辭典, 國家教育研究院. 2002年12月 [2022-04-24]. (原始內容存檔於2021-01-19). 
  4. ^ Akivis, M. A. and Goldberg, V. V., An Introduction to Linear Algebra and Tensors, New York: Dover, 1972 
  5. ^ Stanley, Richard P., Algebraic Combinatorics: Walks, Trees, Tableaux, and More, Springer, Lemma 1.4, p. 4, 2013 [2022-04-24], ISBN 9781461469988, (原始內容存檔於2022-05-01) .
  6. ^ Faliva, Mario; Zoia, Maria Grazia, Dynamic Model Analysis: Advanced Matrix Methods and Unit-Root Econometrics Representation Theorems 2nd, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag: 218, 2008, ISBN 9783540859956 
  7. ^ Stanley (2013); Horn & Johnson (2012), p. 65頁面存檔備份,存於網際網路檔案館).
  8. ^ 8.0 8.1 Timm, Neil H., Applied Multivariate Analysis, Springer texts in statistics, Springer: 30, 2002 [2022-04-24], ISBN 9780387227719, (原始內容存檔於2022-04-24) .
  9. ^ Smith, Jonathan D. H., Introduction to Abstract Algebra, CRC Press: 77, 2011 [2022-04-24], ISBN 9781420063721, (原始內容存檔於2022-04-24) .
  10. ^ Godsil, Chris, Algebraic Combinatorics, CRC Press, Lemma 4.1, p. 25, 1993 [2022-04-24], ISBN 9780412041310, (原始內容存檔於2022-04-24) .