交叉共變數

在統計學中，交叉共變數（英語：Cross-covariance）表示兩個隨機向量 X 與 Y 之間的共變異數 cov(X, Y)，以區別於隨機向量 X 的「共變異數」即 X 的各個純量元素之間的共變異數矩陣。

在信號處理領域，交叉共變數是兩個信號 (資訊理論)之間相似性的度量，它也稱為「互相關」。交叉共變數通常用於通過與已知信號做比較從來尋找未知信號的特點。它是信號之間相對於時間的函數，有時也稱為滑動點積，在模式識別與密碼分析學中都有應用。

離散函數 f_i 與 g_i 的交叉共變數定義為

$(f\star g)_{i}\equiv \sum _{j}f_{j}^{*}\,g_{i+j}$

其中累計和是在一個合適的整數 j  上進行計算，星號表示是共軛複數。 連續函數 f (x) 與 g _i 的交叉共變數定義為

$(f\star g)(x)\equiv \int f^{*}(t)g(x+t)\,dt$

其中積分在合適的 t 上進行。 交叉共變數本質上類似於兩個函數的摺積。

特性

因為

$f(t)\star g(t)=f^{*}(-t)*g(t)$

如果 f 或者 g 是偶函數，交叉共變數與摺積發生關係，

$(f\star g)=f*g$

並且

$(f\star g)\star (f\star g)=(f\star f)\star (g\star g)$

參見

• 摺積
• 相關性
• 自共變異數

外部連結

• Mathworld 的互相關 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• http://citebase.eprints.org/cgi-bin/citations?id=oai:arXiv.org:physics/0405041
• https://web.archive.org/web/20061025183237/http://www.idiom.com/~zilla/Work/nvisionInterface/nip.html
• http://www.phys.ufl.edu/LIGO/stochastic/sign05.pdf （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• http://ceb.nlm.nih.gov/pubs/hauser/Tompaper/tompaper.php
• http://www.staff.ncl.ac.uk/oliver.hinton/eee305/Chapter6.pdf （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• http://www.is.ac.cn/China-Bejing2.pdf （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• 包括二維模式識別在內的互相關例子