數列

數列（英語：Number sequence）是由數字組成的序列，也就是以正整數系為定義域，值域包含於某數系的函數。數列及其相關術語常用於有關遞推規律的研究，而級數本身更是一種特殊的數列。

數列是特殊的序列，全部由數字組成。序列則範圍更廣，可以由有序的一系列數字、一系列函數、一系列矢量、一系列矩陣或一系列張量等等所組成，但有的微積分教材會用序列一詞來稱呼數列，讀者需要自己留意。

正式定義

考慮到最一般的數為複數，可以作如下的定義：

數列的定義 — 一個 $a:\mathbb {N} \to \mathbb {C}$ 的函數被稱為無窮數列，可記為 ${\left\{a_{i}\right\}}_{i\in \mathbb {N} }$ 、 ${\left\langle a_{i}\right\rangle }_{i\in \mathbb {N} }$ 或 ${\left(a_{i}\right)}_{i\in \mathbb {N} }$ ，而 $a(i)$ 會被簡記為 $a_{i}$ 。

若 $I_{n}=\left\{1,\,2,\,\cdots ,\,n\right\}$ ，則一個 $a:I_{n}\to \mathbb {C}$ 的函數被稱為有限數列，可記為 ${\left\{a_{k}\right\}}_{k=1}^{n}$ 、 ${\left\langle a_{k}\right\rangle }_{k=1}^{n}$ 或 ${\left(a_{k}\right)}_{k=1}^{n}$ 。

在教學上常會如下標示有限數列，來增進對定義的直觀理解：

$\left\langle a_{k}\right\rangle _{k=1}^{n}=\left\langle a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,\cdots ,\,a_{n}\right\rangle$

以上表達式中的每一個數被稱為這個數列的「項」。$a_{1}$ 為數列的「第一項」、$a_{2}$ 為「第二項」，以此類推。$n$ 被稱為有限數列的項數。數列中的第一項常稱為「首項」，最後一項則稱為「末項」。注意有限數列也可以設為 $\left\langle a_{k}\right\rangle _{k=0}^{n}$ ，換句話說，把 $0$ 加入數列的定義域，並以第零項 $a_{0}$ 作為首項。無窮數列只有首項，沒有末項，但類似的，也有人把 $0$ 踢出無窮數列的定義域，讓無窮數列的首項為 $a_{1}$ 。

數列中各個項的和稱為「級數」，換句話說

級數的定義 — 對於 ${\left\{a_{i}\right\}}_{i\in \mathbb {N} }$ ，根據集合論的公理和數學歸納法，存在唯一的無窮數列 ${\left\{s_{i}\right\}}_{i\in \mathbb {N} }$ 滿足：

• $s_{0}=a_{0}$
• 對所有的 $n\in \mathbb {N}$ 有 $s_{n+1}=s_{n}+a_{n}$

${\left\{s_{i}\right\}}_{i\in \mathbb {N} }$ 稱為 ${\left\{a_{i}\right\}}_{i\in \mathbb {N} }$ 的級數。

一般會將 ${\left\{s_{i}\right\}}_{i\in \mathbb {N} }$ 寫為 $\sum _{i=0}^{n}a_{i}$ ，甚至更直觀的 $a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{n}$ 來凸顯級數源於＂求和＂的直觀概念。

級數的概念可以推廣至數列以外的序列，比如說函數序列的函數級數。

分類

單調性

• 若對所有 n ∈ Z⁺ ，a_n+1 ≥ a_n ，則稱數列 ⟨a_k⟩ 為「遞增數列」。把 ≥ 換成 > ，則稱為「嚴格遞增數列」。
• 若對所有 n ∈ Z⁺ ，a_n+1 ≤ a_n ，則稱數列 ⟨a_k⟩ 為「遞減數列」。把 ≤ 換成 < ，則稱為「嚴格遞減數列」。
• 若對所有 n ∈ Z⁺ ，a_n+1 = a_n ，則稱數列 ⟨a_k⟩ 為「常數數列」。

有限性

• 若數列 $\left\langle a_{k}\right\rangle _{k=1}^{n}$ 的項數有限，則 ⟨a_k⟩ 為「有限數列」。
• 若數列 $\left\langle a_{k}\right\rangle _{k=1}^{\infty }$ 的項數無限，則 ⟨a_k⟩ 為「無窮數列」。

有界性

• 若對所有 n ∈ Z⁺ ，M ≤ a_n ≤ N ，則稱數列 ⟨a_k⟩ 為「有界數列」。 M 稱為「下界」， N 稱為「上界」。
• 若對數列 ⟨a_k⟩ ，上述的 M 、 N 不存在，則稱數列 ⟨a_k⟩ 為「無界數列」。

收斂性與極限

收斂性是數列的一個重要性質。如果一個數列逐漸趨近於某一個值，就稱該數列為收斂數列，否則稱為發散數列。

簡單的說，一個數列$\{x_{n}\}$有極限，便是它的數列中的元素逐漸地越來越靠近$L$（稱為極限值），但是它們仍然任意得很靠近極限值$L$，而不一定恰好相等。

舉例來說：當 $a_{n}={\frac {1}{n}}$ 時，隨著n的數字增加，可以看到它逐漸趨向於0。當 $a_{n}=5-{\frac {3n^{2}-9}{n^{2}+1}}$時，隨著n的數字增加，可以看到它逐漸趨向於2。

此外，值得注意的是，當一個數列有極限值時，它的極限值一定是唯一的。一般來說，當數列收斂，我們會記$\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$。

收斂正式定義

我們說一個實數的數列$\{a_{n}\}$收斂到實數$L$，如果有對任意的$\epsilon >0$ ，存在一個正整數$N\in \mathbb {N}$，使得對所有的$n\geq N$，有$|a_{n}-L|<\epsilon$。

重要的特殊數列

• 等差數列：是一種特殊數列。數列中，從第二項起，每一項與前一項的差相等。

例如數列$1,3,5,7,9,\cdots ,9995,9997,9999,\cdots$。

這就是一個等差數列，因為第二項與第一項的差和第三項與第二項的差相等，都等於$2,9999$與$9997$的差也等於2。我們把像2這樣的後一項與前一項的差稱之為公差，符號為$d$，但是$d$可為0。

若設首項$a_{1}=a$，則等差數列的通項公式為$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$。

• 多階等差數列：又稱高階等差數列，中國則稱之為「質數相關數列」。

把一個數列的所有後項與前一項之差組成一個新的數列，如果這個新的數列是普通等差數列，原數列就稱為二階等差數列。

由此類推，把一個數列的所有後項與前一項之差組成一個新的數列，再把這個新的數列的所有後項與前一項之差組成另一個新的數列，如此進行下去，直到最後的數列如果是普通等差數列，那麼原數列就是多階等差數列。

普通等差數列可以視為一階等差數列，因而常數數列實際就是零階等差數列。

• 等比數列：是一種特殊數列。它的特點是：從第2項起，每一項與前一項的比都是一個常數。

例如數列$2,4,8,16,32,\cdots ,2^{197},2^{198},2^{199},\cdots$。

這就是一個等比數列，因為第二項與第一項的比和第三項與第二項的比相等，都等於2，$2^{198}$與$2^{197}$的比也等於2。我們把像2這樣的後一項與前一項的比稱之為公比，符號為$r$。

若設首項$a_{1}=a$，則等比數列的通項公式為$a_{n}=ar^{n-1}$。

• 費氏數列：是一種特殊數列。它的特點是：首兩項均是1，從第3項起，每一項均為前兩項的和。

以數學符號表示，即$a_{1}=a_{2}=1$，且對於$n\geq 3$，$a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}$。

費氏數列的通項公式為$a_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right]$。

• 質數數列：目前找不到規律的特殊數列，即：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,…………

• 正負相間：$(-1)^{n}$或$(-1)^{n-1}$

• 隔項有零：${\frac {1}{2}}[(-1)^{n}+1]$或${\frac {1}{2}}[(-1)^{n-1}+1]$

數列的求和

主條目：求和符號

通常對第1項到第$n$項求和，記為$S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$。此求和符號是由瑞士數學家萊昂哈德·歐拉使用和推廣的。

一個特殊數列求和：奇數數列。1，3，5，7，9，...。其和為項數$n$的平方。例如：1+3=2²,1+3+5=3²。

通項公式的求解

主條目：遞迴關係式

通常，從實際問題中會先得到一個遞迴關係式，但是可能會難以觀察出數列中某一項的項數和具體大小之間的規律。所以需要求出這個數列的通項公式。以下是一些常見的遞推式化簡方法。通項公式的求解在積分學、線性代數、機率論、組合數學、趣味數學、數學物理、數學建模、數值分析、碎形等領域中都會遇到。沒有一種解法是通用的。求不出通項公式或只能進行估算的情形也可能出現。

數學歸納法

求出該數列的前數項，歸納其通項公式，然後用數學歸納法證明公式正確。

數學歸納法是最基本的方法，但對觀察和歸納的能力要求比較高。如果猜不出規律，則不能使用此方法。

逐差全加

給定數列差$d_{n}$時逐差全加，例如：

$a_{1}=1$，$d_{n}=a_{n}-a_{n-1}=2n$, 求$a_{n}$

$a_{n}=a_{1}+\sum _{k=2}^{n}d_{k}=n^{2}+n-1$

逐商全乘

給定數列比$r_{n}$時逐差全乘，例如：

$a_{1}=1$，$r_{n}={\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}={\frac {n}{n-1}}$，求$a_{n}$

$a_{n}=a_{1}\prod _{k=2}^{n}r_{k}=n$

從和式求通項

如果已知數列和的公式，那麼通項的求解非常容易。由$S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{n}$可知$S_{n}-S_{n-1}=a_{n}$

把$S_{n}$看成一個數列，可以先對$S_{n}$進行求解，然後得出$a_{n}$。

換元法

換元法用於從形式上簡化表達式，以突出問題的本質。換元法一般不單獨使用，而是和其它方法結合使用。中學數學中常用的有對數換元法、三角函數換元法，還有用得很少的雙曲函數換元法。

不動點法

對於形如齊次分式的遞迴關係，可利用不動點來推導。

已知$Aa_{n+1}+Ba_{n}+C=0$，其中$A$、$B$、$C$都是常數，求$a_{n}$。
求這類數列的通項公式，一般的方法就是將之化成一個新的等比數列。

• 如果$A\neq -B$，那麼這個式子就可以化成下面的形式：

$A(a_{n+1}+k)=-B(a_{n}+k)$。
求出$k$，那麼數列${a_{n}+k}$就是一個等比數列，從而求出通項公式。

• 如果$A=-B$，這個遞迴關係就不能化為等比數列。如果$A=-B$，那麼它就是等差數列。另外，當$A=B$的時候，它是一個等和數列。從這個問題我們可以看到，等和數列也可以化成一個等比數列。
• 除此之外也可以這樣將之化成等比數列：

$Aa_{n+1}+Ba_{n}+C=0$
$Aa_{n}+Ba_{n-1}+C=0$
兩邊相減就有：$A(a_{n+1}-a_{n})+B(a_{n}-a_{n-1})=0$，如此就化成了一個等比數列。

已知$Aa_{n+1}+Ba_{n}+Ca_{n-1}+D=0$,其中$A$、$B$、$C$、$D$都為常數，求$a_{n}$；
與上述數列一樣，它們一定可以化成下面的形式：
$Aa_{n+1}+Ea_{n}=k(Aa_{n}+Ea_{n-1})-D$
求出對應係數，於是就轉化成了前面那種形式，然後就可以求出數列${Aa_{n}+Ea_{n-1}}$的通項公式，然後求出$a_{n}$的通項公式。實際上這是一種逐步化簡的方法。

其它方法

其它常用方法包括導數求通項法、組合數學中的母函數方法、特徵方程式法，這些一般是在大學課程或是部分高中的進階課程中學到。其中特徵方程式法專門用於線性遞迴關係式的化簡，與求解線性微分方程式的特徵方程式法非常類似。

在其他數學領域的使用

參見

• 整數數列線上大全 (OEIS)