機率公設

機率公設（英語：Probability axioms）是機率論的公設，任何事件發生的機率的定義均滿足機率公設。因其提出者為安德烈·科摩哥洛夫，也被稱為科摩哥洛夫公設（Kolmogorov axioms）。

某個事件 $E$ 的機率 $P(E)$ 是定義在「全體」（universe）或者所有可能基礎事件的樣本空間 $\Omega$ 時，機率 $P$ 必須滿足以下科摩哥洛夫公設。

也可以說，機率可以被解釋為定義在樣本空間的子集的σ代數上的一個測度，那些子集為事件，使得所有集的測度為 $1$ 。這個性質很重要，因為這裡提出條件機率的自然概念。對於每一個非零機率A都可以在空間上定義另外一個機率：

P(B\vert A)={P(B\cap A) \over P(A)}

通常讀作「給定A時B的機率」。如果給定A時B的條件機率與B的機率相同， $P(B\vert A)=P(B)$ ，則稱A與B互相獨立。

當樣本空間是有限或者可數無限時，機率函數也可以以基本事件 $\{e_{1}\},\{e_{2}\},...$ 定義它的值，這裡 $\Omega =\{e_{1},e_{2},...\}$ 。

科摩哥洛夫公設編輯

假設有一個基礎集 $\Omega$ ，其子集的集合 ${\mathfrak {F}}$ 為σ代數，和一個給 ${\mathfrak {F}}$ 的元素指定一個實數的函數 $P$ 。 ${\mathfrak {F}}$ 的元素，稱為「事件」。

對於任意一個集合

A\in {\mathfrak {F}}

，即對於任意的事件

P(A)\geq 0

。

即，任一事件的機率都可以用 $0$ 到 $1$ 區間上的一個實數來表示。

P(\Omega )=1

。

即，整體樣本集合中的某個基本事件發生的機率為1。更加明確地說，在樣本集合之外已經不存在基本事件了。

這在一些錯誤的機率計算中經常被小看；如果你不能準確地定義整個樣本集合，那麼任意子集的機率也不可能被定義。

任意兩兩不相交事件

E_{1},E_{2},...

的可數序列滿足

P(E_{1}\cup E_{2}\cup \cdots )=\sum P(E_{i})

。

即，不相交子集的並的事件集合的機率為那些子集的機率的和。這也被稱為是σ可加性。如果存在子集間的重疊，這一關係不成立。

如想通過代數了解科摩哥洛夫的方法，請參照隨機變數代數。

又發展成Boole不等式，證明時常使用此公式： ${\displaystyle P(\bigcup _{i}A_{i})\leq \sum _{i}P(A_{i})}$ 。

從科摩哥洛夫公設可以推導出另外一些對計算機率有用的法則。

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

，

P(\Omega -E)=1-P(E)

，

P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\vert A)

，

這一關係給出了貝氏定理。以此可以得出A和B是獨立的若且唯若

P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)

。