歐拉-麥克勞林求和公式

歐拉-麥克勞林求和公式在1735年由萊昂哈德·歐拉科林·麥克勞林分別獨立發現,該公式提供了一個聯繫積分與求和的方法,由此可以導出一些漸進展開式。

科林·麥克勞林是歐拉-麥克勞林求和公式的提出者之一
萊昂哈德·歐拉是歐拉-麥克勞林求和公式的提出者之一

公式

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[1] 為一至少 階可微的函數, ,則
 
其中

  •  表示 的階乘
  •  表示  階導函數
  •  ,其中
    •  表示第 伯努利多項式
      • 伯努利多項式是滿足以下條件的多項式序列:
      •  
    •  表示 的小數部分
  •  為第 伯努利數

證明

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證明使用數學歸納法以及黎曼-斯蒂爾傑斯積分,下文中假設 的可微次數足夠大, 
為了方便,將原式的各項用不同顏色表示:
 

k=0的情形

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容易算出
 
 
其中橙色的項通過分部積分可化為
 

假設k=n-1時原式成立

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處理積分(藍色項)

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將處理後的積分代入

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得到想要的結果。

餘項(積分項)估計

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歐拉-麥克勞林求和公式的精確度通常不一定隨著 的增加而增加,相反地,如果 相當大,則積分項也會很大。右圖是在計算調和級數的前100項時用Mathematica算出不同的 對應的積分項的絕對值

 
計算調和級數時的誤差項


應用

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通過歐拉-麥克勞林求和公式可以給出黎曼ζ函數的漸進式:[2]
 
其中
 

其他形式

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歐拉-麥克勞林求和公式有時也被寫成如下形式:[3]
 
這是歐拉給出的原始形式。

參考文獻

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  1. ^ Gérald Tenenbaum. 解析与概率数论导引. 高等教育出版社. 2011年1月: 5 [2015-05-03]. ISBN 978-7-04-029467-5 (中文). 
  2. ^ H.M.Edwards. Riemann's Zeta Function. Dover Publications. 2001: 114. ISBN 978-0-486-41740-0 (英語). 
  3. ^ Tom M.Apostol. Introduction to Analytic Number Theory. 世界圖書出版社. 2012: 54. ISBN 978-7-5100-4062-7 (英語).