動差母函數

在機率論和統計學中，一個實數值隨機變數的動差母函數（moment-generating function）又稱動差生成函數，動差亦被稱作矩，動差生成函數是其機率分布的一種替代規範。 因此，與直接使用機率密度函數或累積分布函數相比，它為分析結果提供了替代途徑的基礎。 對於由隨機變數的加權和定義的分布的動差生成函數，有特別簡單的結果。 然而，並非所有隨機變數都具有動差生成函數。

顧名思義，動差生成函數可用於計算分布的動差：關於 0 的第$n$個動差是動差生成函數的第$n$階導數，在 0 處求值。

除了實值分布（單變量分布），動差生成函數可以定義為向量或矩陣值的隨機變數，甚至可以擴展到更一般的情況。

與特徵函數不同，一個實數值分布的動差生成函數並不總是存在。 分布的動差生成函數的行為與分布的性質之間存在關係，例如動差的存在。

定義

隨機變數$X$的動差母函數定義為：

$M_{X}(t)=\mathbb {E} \left(e^{tX}\right),\quad t\in \mathbb {R}$

前提是這個期望值存在。

計算

如果$X$具有連續機率密度函數$f(x)$，則它的動差母函數由下式給出：

$M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,\mathrm {d} x$

$=\int _{-\infty }^{\infty }\left(1+tx+{\frac {t^{2}x^{2}}{2!}}+\cdots \right)f(x)\,\mathrm {d} x$

$=1+tm_{1}+{\frac {t^{2}m_{2}}{2!}}+\cdots$

其中$m_{i}$是第$i$個動差。$M_{X}(-t)$是$f(x)$的雙邊拉普拉斯轉換。

不管機率分布是不是連續，動差母函數都可以用黎曼-斯蒂爾吉斯積分給出：

$M_{X}(t)=\int _{0}^{1}e^{tx}\,dF(x)$

其中$F$是累積分布函數。

如果$X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$是一系列獨立的隨機變數，且

$S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}$

其中$a_{i}$是常數，則$S_{n}$的機率密度函數是每一個$X_{i}$的機率密度函數的摺積，而$S_{n}$的動差母函數則為：

$M_{S_{n}}(t)=M_{X_{1}}(a_{1}t)M_{X_{2}}(a_{2}t)\cdots M_{X_{n}}(a_{n}t)$　。

對於分量為實數的向量值隨機變數X，動差母函數為：

$M_{X}(\mathbf {t} )=\operatorname {E} \left(e^{\langle \mathbf {t} ,\mathbf {X} \rangle }\right)$

其中$\mathbf {t}$是一個向量，$\langle \mathbf {t} ,\mathbf {X} \rangle$ 是數量積。

意義

只要動差母函數在$t=0$周圍的開區間存在，第$n$個動差為：

$\operatorname {\mathbb {E} } \left(X^{n}\right)=M_{X}^{(n)}(0)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}M_{X}(t)}{\mathrm {d} t^{n}}}\right|_{t=0}$　。

如果動差母函數在這個區間內是有限的，則它唯一決定了一個機率分布。

一些其它在機率論中常見的積分轉換也與動差母函數有關，包括特徵函數以及機率生成函數。

累積量生成函數是動差母函數的對數。

例子

下面是一些動差生成函數和特徵函數的例子，用於比較。 可以看出，特徵函數是動差生成函數$M_{X}(t)$存在時的威克轉動（Wick rotation）。

分布	動差生成函數 $M_{X}(t)$	特徵函數 $\varphi (t)$
退化 $\delta _{a}$	$e^{ta}$	$e^{ita}$
伯努利 $P(X=1)=p$	$1-p+pe^{t}$	$1-p+pe^{it}$
幾何 $(1-p)^{k-1}\,p$	${\frac {pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}}}$ $\forall t<-\ln(1-p)$	${\frac {pe^{it}}{1-(1-p)\,e^{it}}}$
二項式 $B(n,p)$	$\left(1-p+pe^{t}\right)^{n}$	$\left(1-p+pe^{it}\right)^{n}$
負二項 $\operatorname {NB} (r,p)$	$\left({\frac {p}{1-e^{t}+pe^{t}}}\right)^{r},t<-\log(1-p)$	$\left({\frac {p}{1-e^{it}+pe^{it}}}\right)^{r}$
卜瓦松 $\operatorname {Pois} (\lambda )$	$e^{\lambda (e^{t}-1)}$	$e^{\lambda (e^{it}-1)}$
均勻(連續型) $\operatorname {U} (a,b)$	${\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}$	${\frac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}$
均勻(離散型) $\operatorname {DU} (a,b)$	${\frac {e^{at}-e^{(b+1)t}}{(b-a+1)(1-e^{t})}}$	${\frac {e^{ait}-e^{(b+1)it}}{(b-a+1)(1-e^{it})}}$
拉普拉斯 $L(\mu ,b)$	${\frac {e^{t\mu }}{1-b^{2}t^{2}}},~\left\vert t\right\vert <{\frac {1}{b}}$	${\frac {e^{it\mu }}{1+b^{2}t^{2}}}$
常態 $N(\mu ,\sigma ^{2})$	$e^{t\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}$	$e^{it\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}$
卡方(Chi-squared) $\chi _{k}^{2}$	$(1-2t)^{-{\frac {k}{2}}}$	$(1-2it)^{-{\frac {k}{2}}}$
Noncentral chi-squared $\chi _{k}^{2}(\lambda )$	$e^{\frac {\lambda t}{1-2t}}(1-2t)^{-{\frac {k}{2}}}$	$e^{i\lambda t/(1-2it)}(1-2it)^{-{\frac {k}{2}}}$
伽瑪(Gamma) $\Gamma (k,\theta )$	$(1-t\theta )^{-k},~\forall t<{\tfrac {1}{\theta }}$	$(1-it\theta )^{-k}$
指數(Exponential) $\operatorname {Exp} (\lambda )$	$\left(1-t\lambda ^{-1}\right)^{-1},~t<\lambda$	$\left(1-it\lambda ^{-1}\right)^{-1}$
多元常態 $N(\mathbf {\mu } ,\mathbf {\Sigma } )$	$e^{\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }\left({\boldsymbol {\mu }}+{\frac {1}{2}}\mathbf {\Sigma t} \right)}$	$e^{\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }\left(i{\boldsymbol {\mu }}-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} \right)}$
柯西(Cauchy) $\operatorname {Cauchy} (\mu ,\theta )$	不存在	$e^{it\mu -\theta |t|}$
Multivariate Cauchy $\operatorname {MultiCauchy} (\mu ,\Sigma )$	不存在	$\!\,e^{i\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\mu }}-{\sqrt {\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} }}}$

參見

• 主動差
• 動差
• 階乘動差母函數
• 速率函數