線性近似

在數學中，線性近似就是用線性函數對普通函數進行近似。這個線性函數稱為仿射函數。

例如，有一個實數變量的可導函數 f，根據 n=1 的泰勒公式

f(x)=f(a)+f\ '(a)(x-a)+R_{2}

其中 $R_{2}$ 是餘數。捨去餘數就是線性近似：

f(x)\approx f(a)+f\ '(a)(x-a)

當 x 無限接近於 a 的時候這個等式成立。右側的表示是 f 在點 (a, f(a)) 處的切線，因此這個過程也叫作切線近似。

我們也可以對以向量作為變量的向量函數作線性近似，這時在該點的導數用雅可比矩陣代替。例如，一個有實數變量的可導函數 $f(x,y)$ ，可以用函數 $f(x,y)$ 在接近 $(a,b)$ 的 $(x,y)$ 點處的值來近似

f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(a,b\right)\left(y-b\right).

方程右側是 $z=f(x,y)$ 在點 $(a,b).$ 處的平面切線。

在更具普遍意義的巴拿赫空間上，

f(x)\approx f(a)+Df(a)(x-a)

其中 $Df(a)$ 是函數 $f$ 在 $a$ 處的 Fréchet 導數。

例子編輯

可以通過下面的過程求得 ${\sqrt[{3}]{25}}$ 的值。