雙曲坐標系

在數學裏，雙曲坐標系（英語：Hyperbolic coordinates）是一種二維坐標系統。它可以用來表達一個點在二維平面的第一象限的位置。從雙曲坐標 $(u,\ v)$ 變換到直角坐標 $(x,\ y)$ ：

繪製在歐幾里得平面上的雙曲坐標：在同一藍色射線上的所有點有相同的坐標值u，在同一紅色雙曲線上的所有點有相同的坐標值v。

$u=-{\frac {1}{2}}\log \left({\frac {y}{x}}\right)$ 、

$v={\sqrt {xy}}$ 。

有時候，參數 $u$ 稱為雙曲角，$v$ 稱為幾何平均。

反映射為

$x=ve^{u}$ 、

$y=ve^{-u}$ 。

這是一個連續函數，但不是一個解析函數。

理工科學的應用

在熱力學裏，定溫過程（isothermal process）顯性地跟隨著雙曲路徑，所做的功可以解釋為雙曲角的改變。類似地，等壓過程可以描繪出一條雙曲線，在絕對溫度與氣體密度的象限。