枚举几何代数几何的一个分支,主要用相交理论计算几何问题的解的数量。

历史

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阿波罗尼奥斯圆

阿波罗尼奥斯问题是枚举几何最早的例子之一。这个问题要求找出与3个给定圆、点或与线相切的圆的数量和构造。一般来说,3个给定圆的问题有8个解,可以看做是23个解,每个相切条件都对圆的空间施加了二次条件。然而,对于给定圆的特殊排列,解的数目也可能是0(无解)到6之间的任意整数;没有任何一种排列有7个解。

核心工具

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从初级到高级的工具包括:

枚举几何与相交理论关系密切。

舒伯特积分

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19世纪末,枚举几何在赫尔曼·舒伯特手中得到了惊人的发展,[1]他为此引入了舒伯特积分,其在更广泛的领域具有基本的几何与拓扑学价值。直到1960、70年代,枚举几何的特殊需求才得到进一步关注(如Steven Kleiman指出的)。相交数已有严格定义(安德烈·韦伊作为其基础课程1942–6,[2]的一部分提出),但这并没有穷尽枚举问题的基本领域。

修正因子与希尔伯特第15问题

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正如下面的例子所示,天真地应用维数计数与贝祖定理会产生错误结果。为解决这些问题,代数几何学家引入了模糊的“修正因子”,几十年后才有严格证明。

例如,计与射影平面中5条给定直线相切的圆锥曲线之数。[3]它们构成维数为5的射影空间,其6个系数作为齐次坐标。若5个点处于一般的线性位置(穿过给定点会带来线性条件),就可以确定一条圆锥曲线。同样,与给定直线L相切(即相交,倍数为2)是个二次条件,于是 中确定了二次曲面。但由所有此类二次曲面构成的除子线性系统并非没有基轨;事实上,每个此种二次曲面都包含委罗内塞面,参数化了圆锥曲线

 

称作“双线”。这是因为,双线与平面的每条直线都相交(因为射影平面中的直线都相交),由于是二次所以倍数为2,从而满足与直线相切的非退化圆锥相同的交点条件。

据一般贝祖定理,5维空间中的5个一般二次曲面将有 个交点,其中的相关二次曲面不在一般位置上。必须要从32中减去31,将其归入委罗内塞面,才能得到(几何角度的)正确答案:1。这种将交点归为“退化”情形的过程是典型的几何“修正因子”。

希尔伯特第十五问题便是要克服这些干涉的明显的任意性:这方面超出了舒伯特积分本身的基础问题。

克莱门斯猜想

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1984年,赫伯特·克莱门斯研究了5次3维流形 上的有理曲线计数,提出以下猜想:

正整数 ,则在一般5次3维流形 上只有有限多条度为 的有理曲线。

此猜想 的情形已有证明。

1991年,论文[4]从弦论角度讨论了 中5次3维流形的镜像对称,给出了在所有  上度为 的有理曲线的数量。这之前代数几何学家只能计算 的情况。

例子

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代数几何中,历史上重要的枚举几何例子包括:

  • 2 空间中4条一般直线相交的直线数
  • 8 与3个一般圆相切的圆数(阿波罗尼奥斯问题
  • 27 光滑三次曲面上的直线数(乔治·萨蒙阿瑟·凯莱
  • 2875 一般5次3维流形上的直线数
  • 3264 与一般位置的5条平面圆锥相切的圆锥曲线数 (米歇尔·沙勒
  • 609250 一般5次3维流形上的圆锥曲线数
  • 4407296 与8个一般二次曲面相切的圆锥曲线数Fulton (1984,p. 193)
  • 666841088 3维空间中与9个一般位置的给定二次曲面相切的二次曲面数(Schubert 1879,p.106) (Fulton 1984,p. 193)
  • 5819539783680 3维空间中与12个一般位置的给定二次曲面相切的扭曲三次曲面数(Schubert 1879,p.184) (S. Kleiman, S. A. Strømme & S. Xambó 1987

参考文献

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  1. ^ Schubert, H. Kalkül der abzählenden Geometrie. 18791979. 
  2. ^ Weil, Andre. Foundations of Algebraic Geometry. ISBN 9780821874622. 
  3. ^ Fulton, William. 10.4. Intersection Theory. 1984. ISBN 0-387-12176-5. 
  4. ^ * Candelas, Philip; de la Ossa, Xenia; Green, Paul; Parks, Linda. A pair of Calabi-Yau manifolds as an exactly soluble superconformal field theory. Nuclear Physics B. 1991, 359 (1): 21–74. doi:10.1016/0550-3213(91)90292-6. 

外部链接

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