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存在量化

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谓词逻辑中,存在量化是对论域内至少一个成员的性质或关系的论断。在符号逻辑中,存在量词∃是用来指示存在量化的符号。

它相对于声称某些谓词对所有事物都为真的全称量化

基础编辑

要表达“某些自然数自乘得25”这个命题,一种方式是:

 ,或 ,或 ,或 ,以此类推。

因为使用了“或”一词,这看上去是逻辑析取。然而形式逻辑中的析取概念却不能表达出“以此类推”一词的含义,因此该命题并不能在形式逻辑中解读。

因此将该命题改述为

存在自然数  

也可表达为

对于某些自然数  

这便是一个使用存在量化的单一命题。该命题比原命题更精确,因为“以此类推”一词想表示的是要包括所有的自然数、且除此之外不包括任何其它内容,但语言中并没有明确地陈述这点,这便是“以此类推”一词不能被形式地解释的根本原因。

这个新命题为,因为5是自然数,而当把5代入 时,可以得到 。尽管大多数自然数 都不满足 ,但存在至少一个足以举证存在命题为真。反之,“存在偶数  ”为假,因为一个偶数解也不存在。

然而,“存在奇数  ”为真,因为5是奇数。这演示了论域的重要性——确定变量n的取值范围。限制存在量化的论域要使用逻辑合取。例如“存在奇数  逻辑等价于“存在自然数  是奇数且 ”。这里的“且”构造出了逻辑合取。


在符号逻辑中,使用存在量词“∃”(反写的无衬线体的字母"E")来表示存在量化。所以如果 是谓词“ ”,而 则是自然数,那么有

 

表示的是真命题“存在自然数  ”。

类似的,如果 是谓词“ 是偶数”,那么有

 

表示的是假命题“存在自然数  是偶数且 ”。

引用编辑

参见编辑