一阶偏微分方程

一阶偏微分方程是只和未知數的一階導數有關的偏微分方程,其型式如下

以下的應用會用到一阶偏微分方程:建構双曲型偏微分方程的特徵曲面、变分法、一些幾何問題,以及一些解有用到特征线法的氣體動力學簡單模型。若可以找到一阶偏微分方程的解族,可以透過建立解族的包絡線來找到其他的解。

通解及全積分编辑

一阶偏微分方程的通解是指其中包括待定常數的解。若一阶偏微分方程中的待定常數和自變數一樣多,此解則稱為全積分(complete integral)。以下有n個參數的解族

 

若滿足 的條件,即為全積分[1]

波方程的特徵曲面编辑

波方程本身是二階偏微分方程,而其特徵曲面為滿足以下方程的等值曲面

 

若令 ,對一般性的影響不大,此時u滿足

 

用方量的表示方式,令

 

解族的特徵曲面可以表示為

 

其中

 

xx0不變,此解的包絡線可以由找到半徑1/c圓球上的點,且u值為定值的點來求得。若 平行 ,此條件會成立。因此,包絡線為

 

這個解對應一個半徑會以速度c膨脹或是收縮的圓球。這也是在時空下的光錐。

此方程的初值問題會包括給定t=0 時,u=0 的等值曲面S。這可以由找到所有中心在S上,半徑以速度c膨脹或是收縮的圓球包絡面來求得。包絡面可以由下式求得

 

 S垂直,上式就會成立,因此包絡線對應和S垂直,速度為c的運動,這也就是Huygens波前建立法:S上的每一點在t=0時發射一個球狀波,較晚時間t的波前就是這些球狀波的包絡線。S的法向量即為光線。

參考資料编辑

  1. ^ P.R. Garabedian, "Partial differential equations" , Wiley (1964)

外部連結编辑

相關書目编辑

  • R. Courant]and D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, Vol II, Wiley (Interscience), New York, 1962.
  • L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
  • A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev, and A. Moussiaux, Handbook of First Order Partial Differential Equations, Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27267-X
  • A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9
  • Sarra, Scott The Method of Characteristics with applications to Conservation Laws, Journal of Online Mathematics and its Applications, 2003.