環的譜

在抽象代數學，交換代數和代數幾何學中，一個交換環$A$的譜是指其素理想全體形成的集合，記作$\mathrm {Spec} (A)$。它被賦予扎里斯基拓撲和結構層，從而成爲局部賦環空間。

一個局部賦環空間若同構於一個交換環譜，即稱爲仿射概形。

扎里斯基拓撲

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對於交換環 $A$ 裡的任一理想 ${\mathfrak {a}}$，置 $V({\mathfrak {a}}):=\{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} (A):{\mathfrak {p}}\supset {\mathfrak {a}}\}$。容易證明下述性質：

• $V({\mathfrak {ab}})=V({\mathfrak {a}})\cup V({\mathfrak {b}})$
• $V(\sum _{i}{\mathfrak {a}}_{i})=\bigcap _{i}V({\mathfrak {a}}_{i})$
• $V({\mathfrak {a}})\subset V({\mathfrak {b}})$若且唯若${\sqrt {\mathfrak {a}}}\supset {\sqrt {\mathfrak {b}}}$

因此我們可以在$Spec(A)$上定義一個拓撲結構，使得其閉子集恰為形如$V({\mathfrak {a}})$的子集，稱之扎里斯基拓撲。

一般而言，扎里斯基拓撲並不滿足豪斯多夫性質。

結構層

考慮扎里斯基拓撲下的下述預層：

${\mathcal {O}}_{0,A}:U\mapsto \varprojlim _{{\mathfrak {p}}\in U}A_{\mathfrak {p}}$

令${\mathcal {O}}_{A}$為其層化，稱作$\mathrm {Spec} (A)$的結構層。顯然有${\mathcal {O}}_{A,{\mathfrak {p}}}=A_{\mathfrak {p}}$，故$(\mathrm {Spec} (A),{\mathcal {O}})$構成一個局部賦環空間。

一個元素$a\in A$給出${\mathcal {O}}_{A}$的截面，事實上可以證明$\Gamma (\mathrm {Spec} (A),{\mathcal {O}}_{A})=A$。

交換環譜間的態射

設$A,B$為交換環，$\phi :A\rightarrow B$為一同態，則可定義一個映射$f({\mathfrak {p}})=\phi ^{-1}({\mathfrak {p}})$，這是從$\mathrm {Spec} (B)$到$\mathrm {Spec} (A)$的連續映射，在結構層上則以$a\mapsto \phi (b)$定義$f^{\sharp }:{\mathcal {O}}_{A}\rightarrow f_{*}{\mathcal {O}}_{B}$，那麼$(f,f^{\sharp })$給出局部賦環空間的態射。

反之，任何仿射概形間的態射皆由此唯一地給出。上述對應遂建立起交換環的反範疇與仿射概形範疇的等價性。

古典觀點

令$k$為代數封閉域，給定$f_{i}\in k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$（i=1,2,...），則方程組$f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0$定義一個代數簇$X\subset \mathbb {A} _{k}^{n}$。

設${\mathfrak {a}}:=(f_{1},\ldots ,f_{n})\subset k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$，$A:=\mathrm {k[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}}$。根據希爾伯特零點定理，$X$的點一一對應到$A$的極大理想。

一般而言，$\mathrm {Spec} (A)$內的元素一一對應到$X$內的不可約閉集。考慮全體素理想的好處之一，在於可以藉此在概形上運用安德烈·韋伊的一般點（generic point）理論；此外，環同態不一定將極大理想拉回到極大理想，除非該環是 Jacobson 環。

$\mathrm {Spec} (A)$的拓撲結構僅涉及${\sqrt {\mathfrak {a}}}$。$A$裡的冪零元素看似無幾何意義，但它們在研究無窮小變化及態射的纖維上功效至大。

參見

• 《代數幾何基礎》