微分幾何中,伯恩施坦問題如下:如果在Rn−1上的函數圖象是Rn中的極小曲面,那麼函數是否必然是線性函數?這個結果在維數n不大於8時成立,但n不小於9時不成立。這條問題是以俄羅斯數學家謝爾蓋·納塔諾維奇·伯恩施坦命名,他在1914年解出了n = 3的情形。

問題编辑

f是一個有n - 1個實變數的函數。f的圖象是Rn中的曲面。這曲面的極小曲面條件,就是f滿足極小曲面方程

 

伯恩施坦問題是指,如果一個在整個Rn−1上有定義的函數f符合這條方程,f是否必然是一次多項式。

歷史编辑

Bernstein(1915–1917)證明了伯恩施坦定理:一個在R2上的實函數的圖象如果是R3中極小曲面,這曲面必定是平面。

Fleming(1962)給出了伯恩施坦定理的新證明,用了R3中沒有非平面的面積最小化錐的結果推斷出定理。

De Giorgi(1965)證明了如果Rn−1中沒有非平面的面積最小化錐,那麼伯恩施坦定理的類似結果在Rn成立,特別是這結果可以推出定理在R4中成立。

Almgren(1966)證明了R4中沒有非平面的面積最小化錐,將伯恩施坦定理推廣到R5

Simons(1968)證明了R7中沒有非平面的面積最小化錐, 將伯恩施坦定理推廣到R8。他也給出了R8中的局部穩定錐的一些例子,並問這些例子是否整體面積最小化。

Bombieri, De Giorgi & Giusti(1969)證明了詹姆斯·西蒙斯的錐確實是整體最小化的,並證明了Rn對於n≥9時,有圖象是極小曲面但不是超平面。連同西蒙斯的結果,這顯示了伯恩施坦定理的類似結果,在維數上到8時是對的,在更高維數是錯的。

參考编辑

外部連結编辑