克莱尼不动点定理

在数学中，序理论的 Kleene 不动点定理指出给定任何完全格 L 和任何具有斯科特连续性的函数

$f:L\to L,$

$f$的最小不动点$fix(f)$存在，如果我们用$\bot$来表示L内的最小元素，那么$fix(f)=\bigsqcup _{i\geq 0}f^{i}(\bot )$

证明

我们首先定义集合$M=\{\bot ,f(\bot ),f^{2}(\bot ),\ldots \}$，为了方便表示，我们用$m$来表示集合$M$中最大的元素，即$m=\bigsqcup M$。我们想要证明$m$为函数$f$的最小不动点。

首先我们证明$m$为函数$f$的不动点。因为函数$f$是斯科特连续的，所以我们有$f(m)=f(\sqcup M)=\sqcup (f(M)\cup \bot )=\bigsqcup M=m$。

接下来我们证明$m$为函数$f$的最小不动点。假设函数$f$存在另外一个不动点$x$，因为$\bot \sqsubseteq x$, 且函数$f$为单调函数（由于斯科特连续性），所以$f(\bot )\sqsubseteq f(x)=x$。假设$m=f^{k}(\bot ),k\in \mathbb {N}$， 根据数学归纳法，$f^{k}(\bot )\sqsubseteq f^{k}(x)=x$。 即$m$为函数$f$的最小不动点。

参见

• 克纳斯特-塔斯基定理
• 其他不动点定理