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等差数列(又名算术数列)是数列的一种。在等差数列中,任何相邻两项的差相等,该差值称为公差。例如数列就是一个等差数列。 在这个数列中,从第二项起,每项与其前一项之差都等于2,即公差为2。

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通项公式编辑

如果一个等差数列的首项标为 ,公差标为 ,那么该等差数列第 项的表达式为:

 

等差数列的任意两项之间存在关系:

 

和为  ,首项  ,末项  ,公差  ,项数 ,同时可得

 

等差中項编辑

設定任一公差为的等差数列 。從第二项開始,前一項加後一項的和的值為該項的兩倍。 例: 

證明:

 

 
 (矛盾)
 

證畢

等差数列的和编辑

等差数列的和称为等差级数

公式编辑

一个公差为 的等差数列  项的级数为:

 

等差级数在中文教科書中常表达为:

一个等差数列的和等于其首项与末项的和乘以项数除以2

通常认为数学家高斯在小时候就发现这个公式。在他三年级的时候,他的老师让学生们做从1加到100【1+2+3+4+……+100】的习题。高斯很快发现数列的规律,用上面的公式得出了5050的答案。但显然可以肯定的是,在远远比这更早的古希腊甚至古埃及,就已经有人掌握了等差数列的这种求和的方法。

证明编辑

方法一:代数法编辑

将一个等差级数写作以下两种形式:

 
 

(往左滑)

将两公式相加来消掉公差 :

 

整理公式,并且注意  ,我们有:

 

方法二:几何法编辑

範例:1+2+3+......+10=? 示範影片

如影片中所示,以面積為1單位、2單位、3單位......10單位的長方形排成圖形,再拿一整組同樣大小的長方形反向排列,得一大長方形,而其面積除以二即為等差級數的和。

原理同:

 

以幾何方法計算等差級數 示範影片

 
 
 

也就是我們所熟悉的: =上底加下底乘以高除以二。

方法三:数学归纳法编辑

先证 时该公式成立:等式左边= ,等式右边= (需注意在此时首项和末项均为 ),两边相等,得证。

再假设 时该公式成立,我们有 

现在证明 时该公式成立: 

因为 

所以,得证。

性质编辑

所有等差数列的等差级数均可表示为 的形式(  为常数),其中公差 ,首项 

如果以 表示新数列的公差为等差级数,则数列{ }也是等差数列。而且新数列的公差为 

等差数列的积编辑

等差数列的较其和的公式复杂。给定一首项为 ,公差为  且其首项为正整数   的等差数列,其前 项的积写作:

 

其中    上升阶乘幂。 注意,该公式对于首项不是正数的等差数列并不适用。等差数列的积的公式是基于阶乘定义的一个推广。

其他性质编辑

如果 ,那么对于等差数列{ },则有:

 

当m≠n时,有   证明如下:

      
     
     
     

参见编辑

参考文献编辑

  • Sigler, Laurence E. (trans.). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. 2002: 259–260. ISBN 978-0-387-95419-6.