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割圆连比例是清代级数理论的几何学基础,最先由明安图在《割圜密率捷法》卷三、四《法解》中阐明,其后经董祐誠项名达等数学家的工作而趋于完善。[1]。割圆连比例的中心问题是已知圆弧长度,如何求弦长及矢高,或已知弦长、矢高,如何求得弧长。割圆连比例中心方法是结合由西方传入的连比例方法,结合传统中算方法,将圆弧分割成多等分,画出多条矢,然后构造一系列相似三角形获得一系列连比例式,再将圆弧分割越细,以折线逼近弧线,求得弧长[2]

历史背景编辑

1701年,法国耶稣会传教士杜德美(Pierre Jartoux 1668年至1720年)来到中国,他带来了由艾萨克·牛顿和J.格雷戈里创建的三个三角函数无穷级数[3]

 
 
 

这些计算π的“捷法”只涉及乘法和加减运算,速度远超传统刘徽割圆术涉及的平方根计算,因而激起了中国数学家的极大兴趣。然而杜德美没有将推导这些无穷级数的方法带来中国。明安图怀疑西方人不愿分享他们的秘密,于是他着手进行这项工作,前后历时30年,完成了书稿《割圜密率捷法》,他在书中创建几何模型用于获得三角函数无穷级数,不仅推出杜德美的三个无穷级数,还发现了六个新的无穷级数。在这个过程中,他发现和应用卡塔蘭數

连比例编辑

 
连比例图

如图一 ABC,BCD,CDE,DEF,FDG…… 是一系列相似三角形,于是[4]

AB:BC=BC:CD=CD:EF=EF:DF=DF:DG;

  • AB为第一率,以 表示
  • BC为第二率,以  表示
  • BC为第二率,以  表示
  • CD为第三率,以  表示
  • DE为第四率,以  表示
  • EF为第五率,以  表示
  • FG为第六率,以  表示
  • ……
  • 第m率: 

于是:

 
 
 
 
 
 

 …… …… 

又:  

明安图割圆连比例编辑

 
图一 明安图一弦二矢割圆连比例图
 
图二 明安图发现卡塔兰数 《割圜密率捷法》卷三

由二分弧通弦率数求全弧通弦率数法编辑

如图BCD为全弧,AB=AC=AD=为半径,令半径=1;BD为通弦,BC、CD为1/2 分弧。作BG=BC=x,作直线CG;又作DH=DC,连CH直线。因此,

 [5]

作EJ=EF,FK=FJ;延长BE直线至L,并令EL=BE;作BF=BE,使F在AE线上。连BF延长至M,并BF=MF;连LM,显然LM通过C点。将三角形BLM以BM为轴反转成三角形BMN,C点重合G,L点重合N。将三角形NGB以BN为轴反转至BMI;显然BI=BC。

 

作CG之平分线BM,并令BM=BC;连GM、CM;作CO=CM交BM于O;作MP=MO;作NQ=NR,R为BN与AC之交点。∠EBC=1/2 ∠CAE=1/2 ∠EAB;  ∠EBM=∠EAB;于是得到一系列相似三角形:ABE,BEF,FJK,BLM,CMO,MOP,CGH,而且三角形CMO=三角形EFJ;于是得:[6]

  • 连比第一率:AB=AC=AD=AE
  • 连比第二率:BE=BC=BF=C
  • 连比第三率:EF=CM
  • 连比第四率:FJ
  • 连比第五率:JK=OP

 

1:BE=BE:EF;即 


 

于是 ,

 


因为 风筝形ABEC 与BLIN相似,[6]

 

 

  
 
 


 
 
 

由此得  

 ,代人p值得:

 ,于是

 
上式平方之,两边除以16:[7]
 
 

依次类推

 [8]

将下列二式相加,可以消去 项:

 
 
 
同理
 ,

.......

 

展开式各项分子的系数 1,1,2,5,14,42,132……(见图二 明安图原图最后一行,由右至左读)乃是卡塔兰数,明安图是发现此数的世界第一人[9]

因而得到:

 [10][11]

其中

 明安图-卡塔兰数

明安图利用他首创的递推关系[12]
 

 

 

代人 

最后得到[13]

 

 

三角学意义编辑

在图一中令BAE角=α,BAC角=2α

  • x=BC=sinα
  • q=BL=2BE=4sin(α/2)
  • BD=2sin(2α)

明安图获得的  

就是
 
 

 

 

由三分弧通弦率求全弧通弦率编辑

 
明安图割圆密率三分弧

如图,BE为全弧通弦,BC=CE=DE=a为三等分弧。AB=AC=AD=AE=1 为半径。连BC、CD、DE、BD、EC;作BG、EH=BC,Bδ=Eα=BD,于是三角形Cαβ=Dδγ;又三角形Cαβ与三角形BδD相似。

因此:  , 

 

 

 

依次类推,最后得:

 [14][15]

四分弦编辑

 
四分弦

 +……

 [16]
几何意义:

    [17]

五分弦编辑

 
五分弦

 

几何意义:
 [18]

十分弦编辑

 
十分弦图

从十分弦开始,明安图不再作几何模型,而是对无穷级数进行代数运算

显然十分弦等于五分弦和二分弦的组合,即

 

 ;

展开即得:


 +……[19]

百分弧编辑

同理,

 ,展开后即得:

 ……[20]

千分弧编辑

 ……[21]

万分弦编辑

 …………[22]

弧背求通弦编辑

y100,y1000 and y10000 可表为[23]:

 ..........

 ..............

 ..................

分弦数越大,分母24.000000240000002400、24.000002400000218400*80越接近 24 、 24*80 ;当分弦数n趋向无穷大, n*a, 就变成 弧背,于是[24]

令c 为弦,a 为弧背,

 .....

 

通弦求弧背编辑

明安图求得上述无穷级数的反逆,将弧表示为弦的无穷级数[24][25]:

 ............

正弦的无穷级数展开编辑

 ,

令 r=1

 …………

 [26]

参考文献编辑

  1. ^ 吴文俊 477页
  2. ^ 徐传胜 143
  3. ^ 何绍庚,《清代无穷级数研究中的一个关键问题》《自然科学史研究》第6卷第3期1989年第 205-214
  4. ^ 李俨 《中算史论丛》 第三集 《李俨钱宝琮科学史全集》第7卷 第297-299页
  5. ^ 李俨 《中算史论丛》 第三集 《李俨钱宝琮科学史全集》第7卷 第300页
  6. ^ 6.0 6.1 罗见今 96页
  7. ^ 罗见今 100页
  8. ^ 罗见今 106页
  9. ^ 罗见今 《明安圖和他的冪級數展開式》數學傳播34卷1期, pp. 65-73
  10. ^ 罗见今 113页
  11. ^ Yan Xue-min Luo Jian-jin, Catalan Numbers, A Geometric Model J.of Zhengzhou Univ Vol 38 No2, Jun 2006, p22
  12. ^ 罗见今 114页
  13. ^ 罗见今 114页
  14. ^ Yoshio Mikami p147
  15. ^ 罗见今 148页
  16. ^ 罗见今 153页
  17. ^ 罗见今 153页
  18. ^ 罗见今 156页
  19. ^ 罗见今 164页
  20. ^ 李俨 320页
  21. ^ 李俨 320页
  22. ^ Yoshio Mikami, p147
  23. ^ 罗见今 209-225页
  24. ^ 24.0 24.1 Yoshio Mikami, p148
  25. ^ 罗见今 226-260
  26. ^ 李俨 327页
  • 明安图原著 罗见今译注 《割圆密率捷法译注》内蒙古教育出版社 1998 ISBN 7-5311-3584-1
  • Yoshio Mikami, Development of Mathematics in China and Japan
  • 李俨 《中算史论丛》 第三集 《明清算家的割圆术研究》《李俨钱宝琮科学史全集》第7卷