博雷尔-卡拉西奥多里定理

复分析中,博雷尔-卡拉西奥多里定理(Borel-Carathéodory theorem)表明解析函数有一个用实部表示的上界。它是最大模原理的一个应用,以埃米尔·博雷尔康斯坦丁·卡拉西奥多里命名。

定理陈述编辑

设函数 在以原点为圆心以 为半径的闭圆盘上解析。假设 ,则有以下不等式:

 

其中左边的范数是 在闭圆盘上的最大值:

 

证明编辑

定义 

首先设 。由于 是调和的,可以取  映到直线 左边的半平面 。我们想把这个半平面映到圆盘上,再用施瓦茨引理,得到所要的不等式。

  变成标准左半平面。 把左半平面变成圆心在原点且半径为 的圆。它们的复合映射把0映成0,就是所需要的映射:

 

对上面这个映射与 的复合使用施瓦茨引理,得到

 

 ,上式变为

 

所以

 

对于一般的情况,考虑 

 

整理后即得所要证明的不等式。

参考资料编辑

  • Lang, Serge (1999). Complex Analysis (4th ed.). New York: Springer-Verlag, Inc. ISBN 0-387-98592-1.
  • Titchmarsh, E. C. (1938). The theory of functions. Oxford University Press.