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可数选择公理,指示为,是公理化集合论的类似于选择公理的一个公理。它声称非空集合的任何可数搜集都一定有选择函数保羅·寇恩证明了ACωZermelo-Fraenkel集合论)中是不可证明的。

足够证明可数多可数集合的并集是可数的。它还足够证明所有无限集合都是戴德金无限的(等价的说:有可数无限的真子集)。对于开发数学分析特别有用,这里的很多结果依赖于实数的可数集合有选择函数(考虑为有理数柯西序列的集合)。

是弱形式的选择公理(AC),它声称非空集合的“所有”搜集一定有一个选择函数。AC明确的蕴涵了依赖选择公理(DC),而DC足够证明。但是要严格弱于DC(而DC严格弱于AC)。

用法编辑

作为应用 的例子,下面是所有无限集合是戴德金无限的一个证明(在 中):

 是无限的。对于每个自然数 ,设  的所有 元素子集的集合。因为 是无限的,每个 是非空的。對序列 应用 ,便得到了序列( ),这里的每个 是有 个元素的 的子集。
集合 可能是相交的,但是我们可以定义
 
  与所有 的并集的差集, 
明显的每个集合 都有至少1個和至多 个元素,而集合 是兩兩不相交的。再對序列 應用 ,便得到了序列 ,其中 
所以所有 都是相異的,而 包含一个可数集合。定義把每个 映射到 的函数 (并固定所有 的其他元素),f是从  的一一映射,它不是满射,这证明了 是戴德金无限的。

参见编辑

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