嘉當矩陣

在數學中,嘉當矩陣是由法國數學家埃利·嘉當引入的一類特別矩陣,最大的應用在於李代數的分類理論。在有限維代數的表示理論中,嘉當矩陣另有其它意義。

李代數编辑

所謂廣義嘉當矩陣是具有下述性質的方陣  

  1. 各項皆為整數: 
  2. 對角線上的項等於二: 
  3. 非對角線項非正: 
  4.  
  5. 存在正對角方陣   使   可以寫成  ,其中   是對稱方陣。

第四個條件可由第一及第五個條件導出。在第五個條件中,若可取   為正定,則稱  嘉當矩陣

若兩個嘉當矩陣差一個排列矩陣的共軛: ,則稱兩者同構。若一嘉當矩陣同構於分塊對角的嘉當矩陣,則稱之為可化的,反之則稱為不可化

由半單李代數可以得到根系,對應的廣義嘉當矩陣定義為

 

其中   是選定的單根。單李代數對應於不可化嘉當矩陣。

不可化嘉當矩陣可透過連通丹金圖分類。具體方式是取   個頂點(n 為嘉當矩陣   的階數),將頂點    條邊相連。定義每個頂點的權   使得  ,若兩個相鄰頂點   的權不同,則規定邊從權大者指向小者。這套模式類似於從根系定義丹金圖的手法。

有限維代數的表示理論编辑

對於域   上的有限維結合代數  ,考慮不可約、 -有限維左  -模  ,對每個  ,存在唯一的不可分解左射影模   (至多差一個同構),使得  。取    合成列中作為合成因子的重數。方陣   稱為   的嘉當矩陣。

參考資料编辑