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一致连续性描述定义在一定度量空间上的函数的性质。与连续性刻画函数在局部的性质不同,一致连续刻画的是函数的整体性质。一致连续是比连续更苛刻的条件。一个函数在某度量空间上一致连续,则其在此度量空间上必然连续,但反之未必成立。直观上,一致连续可以理解为,当自变量x在足够小的范围内变动时,函数值y的变动也会被限制在足够小的范围内。

ε-δ定义编辑

  是两个度量空间 并且 ,则一个函数  一致连续当且仅当对任意的 ,存在 ,使得任意的 只要 ,就有 

  都是实数集的子集,  欧几里得度量所定义的距离 时,一致连续的定义可表述为:如果对任意的 ,存在 ,使得对任意的 ,都有 ,则  上一致连续。

连续与一致连续编辑

定理

一个从紧致度量空间度量空间的连续函数是一致连续的。

证明

设函数  为紧致度量空间, 为度量空间。

假设 不是一致连续的,則存在一個 ,对于任意n都存在 满足条件 并且 

因为 为紧致度量空间, 是序列紧致的,所以存在一个 的收敛子序列 ,设其收敛到 

 ,所以 

因为 连续, ,矛盾,定理得证。

一致连续相比于连续是一个更强的结论。一般情况下,连续不意味着一致连续。

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