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形式陈述编辑

在 Zermelo-Fraenkel 公理的形式语言中,它读做:

 

换句话说:

给定任何集合 和任何集合  等于 当且仅当给定任何集合   的一个成员当且仅当  的一个成员。

(这里的 是集合不是本质性的,但在ZF中所有东西都是集合。参见下面的带有基本元素的集合论章节)。

解释编辑

要理解这个公理,注意上述符号陈述中圆括号内的子句简单的声称了 AB 有完全相同的成员。所以,这个公理实际上说的是两个集合相等,当且仅当它们有完全相同的成员。它的本质是:

集合唯一的由它的成员来决定。

外延性公理可以同   形式的概括陈述一起使用,这里的 是不提及  的任何一元谓词,来定义一个唯一集合 ,它的成员完全是满足谓词 的集合。我们可以接着为 介入新的符号;普通数学中的定义最终以这种方式工作的,当它们的陈述简化到纯集合论术语的时候。

外延性公理一般被认为是无可争议的,它或它的等价命題出现在所有可替代的集合論的公理化中。但是对于某些使用需要修改。

在没有等号的谓词逻辑中编辑

上面给出的公理假定等号是谓词逻辑的基本符号。某些公理化集合论的做法是不做这个假定:有的不把上述陈述作为公理,而是作为对等号的定义。那么,就必須連同来自谓词逻辑中有關等式的公理,作為关于这个被定义的符号的公理。多数等式的公理仍能从这个定义得出;余下的一个是

 

而這就成为了所謂的外延性公理。

在有基本元素的集合论中编辑

基本元素是自身不是集合的一个集合的一个元素。在 Zermelo-Fraenkel 公理中没有基本元素,但在某些可替代的集合論的公理化中會有它们。基本元素可以被当作不同于集合的逻辑类型;在这种情况下,如果 是基本元素,则 没有意义,所以外延性公理只适用于集合。

作为选择之一,在无类型逻辑中我们可以要求  是基本元素的时候为假。在这种情况下,平常的外延性公理将蕴涵所有基本元素等于空集。为了避免这样,我们可以修改外延性公理为只适用于非空集合,并把它读为:

 

就是说:

给定任何集合 和任何集合 ,如果 是非空集合(就是说存在着 的一个成员 ),那么  是相等的,当且仅当它们有完全相同的成员。

另一个选择,在无类型逻辑中可定义  是基本元素的时候自身是 的唯一的元素。尽管这个方式可以胜任保存外延性公理,但基础公理反而需要调整。

引用编辑

  • Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
  • Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
  • Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.