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外积

(重定向自外積

外积(英語:Outer product),在线性代数中一般指两个向量张量積,其結果為一矩陣;與外积相對,兩向量的內積結果為純量

外積也可視作是矩陣的克羅內克積的一種特例。注意到:一些作者將「張量的外積」作為張量積的同義詞。

矩阵乘法定义编辑

向量的外积是矩阵的克罗内克积的特殊情况。

给定  列向量   行向量 ,它们的外积 被定义为 矩阵 ,结果出自

 

这里的张量积就是向量的乘法。

使用坐标:

 

对于复数向量,习惯使用 复共轭(指示为 ),因为人们把行向量认为是对偶空间复共轭向量空间的元素:

 

如果 是列向量,定义变为:

 

这里的  共轭转置

相对于外积编辑

如果 是行向量,而且m = n,则可以采用其他方式的积,生成一个标量(或 矩阵):

 

它是欧几里得空间的标准内积,常叫做点积

抽象定义编辑

给定向量 余向量 ,张量积 给出映射 ,在同构 之下。

具体的说,给定 

 

这里的  w上的求值,它生成一个标量,接着乘v

可作为替代,它是  的复合。

如果 ,则还可以配对 ,这是内积

参见编辑