庞加莱度量

数学中,庞加莱度量Poincaré metric),以昂利·庞加莱命名,描述了一个常负曲率二维曲面的度量张量。它是双曲几何黎曼曲面中广为使用的自然度量。

在二维双曲几何中有三种广泛使用的等价表述。其中一个是庞加莱半平面模型,在上半平面上定义一个双曲空间模型。庞加莱圆盘模型单位圆盘上定义了一个双曲空间模型。圆盘与上半平面通过一个共形映射联系,等距莫比乌斯变换给出。第三个表述是在穿孔圆盘上,通常表示为与 q-类似Q-analog)的关系,这种形式不同于前两种。

黎曼曲面上的度量概要编辑

复平面上的度量可写成一般形式

 

这里 λ 是 z  的一个正函数。复平面上曲线 γ 的长度为

 

复平面上子集 M 之面积是

 

这里   是用于构造体积形式外积。度量的行列式等于  ,故而行列式的平方根是  。复平面上的欧几里得体积形式为  ,从而我们有

 

函数   称为度量的势能potential of the metric),如果

 

拉普拉斯–贝尔特拉米算子

 

度量的高斯曲率

 

给出,这个曲率是里奇数量曲率的一半。

等距保持角度与弧长。在黎曼曲面上,等距与坐标变换等价:即拉普拉斯-贝尔特拉米算子与曲率在等距下不变。从而,比如设 S 是一个黎曼曲面带有度量  T 是带有度量   的黎曼曲面,则映射

 

以及   是等距当且仅当它是共形的以及

 

在这里,映射为共形的也就是条件

 

 

庞加莱平面上的度量与体积元编辑

庞加莱半平面模型上半平面 H庞加莱度量张量

 

这里我们记  。这个度量张量在 SL(2,R) 的作用下不变。这就是,如果我们记

 

 ,则我们可算得

 

 

无穷小变换为

 

从而

 

这样便清楚地表明度量张量在 SL(2,R) 的作用下不变。

不变体积元素

 

  度量为

 
 


度量的另一个有用的形式是用交比给出。给定紧化复平面   上任意四点   ,交比定义为

 

那么度量用交比表示为

 

这里    是端点,位于实数轴上,测地线连接   。这些点是有顺序的故   位于    之间。

这个度量张量的测地线是在两个端点处垂直于实轴的圆弧(的一段),即端点位于实轴的上半圆周。

从平面到圆盘的共形映射编辑

上半平面可以共形地映到单位圆盘,用莫比乌斯变换

 

这里单位圆盘上的点 w 对应于上半平面上的点 z。在这个映射中,常数 z0 可取上半平面上任何一点;这个点将映为圆盘的中心。实数轴   映为单位圆盘的边界  。实常数   将圆盘旋转任意一个角度。

典范映射是

 

i 映为圆盘的中心,0 映为圆盘的最低点。

庞加莱圆盘上的度量与体积元素编辑

庞加莱圆盘模型里的庞加莱度量张量单位圆盘   上为

 

体积形式为

 

  的庞加莱度量为

 

这个度量张量的测地线是在端点处正交于圆盘边界的圆弧。

穿孔圆盘模型编辑

 
穿孔圆盘坐标上的 J-不变量J-invariant);这是 nome 的一个函数。
 
庞加莱圆盘坐标上的 J-不变量;注意这个圆盘比文中给出的典范坐标旋转了90度。

第二个将上半平面映成圆盘q-映射

 

这里 qnomeNome), 半周期比例half-period ratio)。在上一节的记号中,  是上半平面   的坐标。这个映射映到穿孔圆盘,因为值 q=0 不在映射的中。

上半平面的庞加莱度量在 q-圆盘上诱导一个度量

 

度量的势能是

 

施瓦茨引理编辑

庞加莱度量在调和函数距离减小。这是施瓦茨引理的一个推广,称为施瓦茨-阿尔福斯-皮克定理Schwarz-Alhfors-Pick theorem)。

另见编辑

引用编辑

  • Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4.
  • Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X (See Section 2.3).
  • Svetlana Katok, Fuchsian Groups (1992), University of Chicago Press, Chicago ISBN 0-226-42583-5 (Provides a simple, easily readable introduction.)