廣義頻譜圖

廣義頻譜圖(Generalized spectrogram),為頻譜圖的通用型。為了得知信號隨著時間的頻率分布狀態,以頻譜圖觀察時,其解析度受到測不準原理影響,頻率解析度與時間解析度相乘為定值。為解決此問題,於是將頻譜圖推廣至廣義頻譜圖。

一段隨時間變化的信號,同時具有時域和頻域的特徵,若想要了解一個信號在某段時間內的頻率特徵,最好的方式就是使用時頻分析,觀察一段信號的時頻分布圖。頻譜圖(Spectrogram)就是其中一種同時表示時間和頻率特徵的分布圖。

廣義頻譜圖的定義编辑

以高斯函數作為窗函數(window function),使用時頻分析,求出兩組不同長度的窗函數的加伯轉換,即    ,再將   取共軛複數後相乘。公式如下:

 

其中 加伯轉換窗函數 為時間  為頻率。

加伯轉換的公式如下:

 

 

若將 ,則與原本頻譜圖無異。

長度不同的窗函數,其時頻域的解析度不同,依據測不準原理,較窄的窗函數,時間解析度較好,而頻率解析度較差;相反的,較寬的窗函數,頻率解析度較好,而時間解析度較差。

為了同時在時間和頻率軸上都達到更好的解析度,把在頻譜圖原定義中的 分為兩個長短不同的波形。例如 : 可以讓 長度較寬,在頻域上面有良好的解析度,而 則長度較窄,在時域上有良好的解析度。先分別運算  ,再相乘,變為 。如此一來時域和頻域上的解析度都能兼顧到。

優點编辑

  • 有優於測不準原理的時間解析度與空間解析度。
  • 由於各自的加伯轉換並不會有cross term,故此方法也不會有cross term出現。
  • 有省時方法:當一組加伯轉換中的數值為零時,我們將不用去計算另一組,因為相乘後還是零。

缺點编辑

  • 需要計算兩組加伯轉換,即與頻譜圖相比,最高會多花兩倍的時間
  • 需要去最佳化  

例子编辑

當我們的輸入信號為:

 

我們先分別求出   的 。經Matlab計算後,如下圖

 
加伯轉換中,sigma=0.1的頻譜圖
 
加伯轉換中,sigma=1.6的頻譜圖

將其中一個取共軛複數後,兩者相乘,得到廣義頻譜圖如下;

 
廣義頻譜圖

我們可以與 的加伯轉換比較:

 
加伯轉換中,sigma=0.4.的頻譜圖

可以發現廣義頻譜圖無論是在時間解析度下,或是頻率解析度下,都優於 的加伯轉換。

變形编辑

原本的廣義頻譜圖公式為  

我們可以對此再進行一般化,如下

 

或者如下方形式:

 

兩種方法新增了  兩變數,期望能找到更好的解析度。

參見编辑

參考來源编辑

  • 丁建均上課講義。時頻分析與小波轉換,p189-p192。2016.1.19
  • P. Boggiatto, G. De Donno, and A. Oliaro,"Two window spectrogram and their integrals,"Advances and Applications, vol. 205, pp. 251–268, 2009.。