戴德金分割

戴德金分割是数学中对于全序集的操作。对于给定的全序集及其中某个元素而言,将分拆为两个非空集合,使得两者其一中所有元素(按照顺序)均在之前、另一真子集中所有元素均在之后。

常见的是对于全体有理数的操作,即。对于有理数,将有理数集合分拆为两个非空集合,若满足条件:

  1. ,关系式必有且只有一个成立。
  2. ,必有,并且两者在不同时取等号时均成立。

则称这样的分拆为有理数的一个戴德金分割,记为。其中集合称为戴德金分割的下组,集合称为戴德金分割的上组

分类编辑

根据戴德金分割中  是否有最大数、最小数,可以将戴德金分割分为三种类型:

  1.  中有最大数, 中无最小数
  2.  中无最大数, 中有最小数
  3.  中无最大数, 中无最小数

可以证明,“ 中有最大数, 中有最小数」的情况并不存在。证明:因为如果A有最大数a,A'有最小数b,则根据分割的定义可知 a<b。但是 (a+b)/2 显然也是有理数,并且a<(a+b)/2<b,因此 (a+b)/2 既不在 A 中, 也不在 A' 中,这就与 A∪A' 是全体有理数矛盾。

第三种情况揭示了在有理数域中存在这样的一种「空隙」(  之间的界数),这个「空隙」所对应的数既不属于 ,也不属于 ,因此它不是有理数,它所对应的数就是无理数,因此说第3种情况的戴德金分割定义了一个无理数

作为一个直观的理解,我们可以把上面三种分化分别看成    ,而“ 中有最大数、 中有最小数”的情况就是  ,中间的分割点d同时(不合法地)属于两边集合。

例子编辑

  1. 将所有小于或等于0的有理数划分为集合 ,将所有余下的有理数(即大于0的有理数)划分为集合 ,则 是一个戴德金分割,并属于上述分类中的第1种情形。
  2. 将所有小于0的有理数划分为集合 ,将所有余下的有理数(即大于或等于0的有理数)划分为集合 ,则 是一个戴德金分割,并属于上述分类中的第2种情形。
  3. 将所有小于或等于0、其平方小于或等于3的正有理数(即满足 的数)划分到集合 ,将余下的有理数(即其平方大于3的正有理数)划分到集合 ,则 是一个戴德金分割,并属于上述分类中的第3种情形,此时戴德金分割 定义了无理数 

定義大小编辑

假设无理数 由分划 所确定,无理数 由分划 所确定,则

  1. 集合  ,则称无理数  相等,记为 
  2. 集合  ),则称无理数 大于 ,记为 

无理数小于 )的概念可由大于 )的概念定义,即 当且仅当 。如此得到實數系的大小關係,其性質有:

  1. 任意实数 ,必有且只有下列关系式之一成立: 
  2. 传递性:若实数 ,则 。对于小于 )的情形,传递性同样成立。

所以該大小關係是全序關係

参阅编辑

参考文献编辑