戴德金分割

戴德金分割（英語：Dedekind cut）是数学中对于全序集的操作。对于给定的全序集 $A$ 及其中某个元素 $x$ 而言，将 $A$ 分拆为两个非空集合，使得两者其一中所有元素（按照顺序）均在 $x$ 之前、另一真子集中所有元素均在 $x$ 之后。

常见的是对于全体有理数的操作，即 $A=\mathbb {Q}$ 。对于有理数 $x$ ，将有理数集合分拆为两个非空集合 $A$ 和 $A'$ ，若 $A$ 和 $A'$ 满足条件：

$\forall a\in \mathbb {Q}$ ，关系式 $a\in A$ 和 $a\in A'$ 必有且只有一个成立。
$\forall a\in A$ ， $\forall a'\in A'$ ，必有 $a<a'$ ，并且 $a\leq x$ 和 $x\leq a'$ 两者在不同时取等号时均成立。

则称这样的分拆为有理数的一个戴德金分割，记为 $A|A'$ 。其中集合 $A$ 称为戴德金分割的下组，集合 $A'$ 称为戴德金分割的上组。

分类编辑

根据戴德金分割中 $A$ 和 $A'$ 是否有最大数、最小数，可以将戴德金分割分为三种类型：

$A$ 中有最大数， $A'$ 中无最小数
$A$ 中无最大数， $A'$ 中有最小数
$A$ 中无最大数， $A'$ 中无最小数

可以证明，“ $A$ 中有最大数， $A'$ 中有最小数」的情况并不存在。证明如下：

如果 $A$ 有最大数 $a$ ， $A'$ 有最小数 $b$ ，则根据分割的定义可知 $a<b$ 。但是 $(a+b)/2$ 显然也是有理数，并且 $a<(a+b)/2<b$ ，因此 $(a+b)/2$ 既不在 $A$ 中, 也不在 $A'$ 中，这就与 $A\cup A'$ 是全体有理数矛盾。

第三种情况揭示了在有理数域中存在这样的一种「空隙」（ $A$ 和 $A'$ 之间的界数），这个「空隙」所对应的数既不属于 $A$ ，也不属于 $A'$ ，因此它不是有理数，它所对应的数就是无理数，因此说第3种情况的戴德金分割定义了一个无理数。

作为一个直观的理解，我们可以把上面三种分化分别看成 $(-\infty ,d]\cup (d,+\infty )$ 、 $(-\infty ,d)\cup [d,+\infty )$ 和 $(-\infty ,d)\cup (d,+\infty )$ ，而“ $A$ 中有最大数、 $A'$ 中有最小数”的情况就是 $(-\infty ,d]\cap [d,+\infty )$ ，中间的分割点d同时（不合法地）属于两边集合。

例子编辑

将所有小于或等于0的有理数划分为集合 $A$ ，将所有余下的有理数（即大于0的有理数）划分为集合 $A'$ ，则 $A|A'$ 是一个戴德金分割，并属于上述分类中的第1种情形。
将所有小于0的有理数划分为集合 $A$ ，将所有余下的有理数（即大于或等于0的有理数）划分为集合 $A'$ ，则 $A|A'$ 是一个戴德金分割，并属于上述分类中的第2种情形。
将所有小于或等于0、其平方小于或等于3的正有理数（即满足 $\forall a\in \mathbb {Q} ,a\leq 0,a^{2}\leq 3$ 的数）划分到集合 $A$ ，将余下的有理数（即其平方大于3的正有理数）划分到集合 $A'$ ，则 $A|A'$ 是一个戴德金分割，并属于上述分类中的第3种情形，此时戴德金分割 $A|A'$ 定义了无理数 ${\sqrt[{}]{3}}$ 。

定義大小编辑

假设无理数 $\alpha$ 由分划 $A|A'$ 所确定，无理数 $\beta$ 由分划 $B|B'$ 所确定，则

若集合 $A=B$ 或 $A'=B'$ ，则称无理数 $\alpha$ 与 $\beta$ 相等，记为 $\alpha =\beta$ 。
若集合 $A\supset B$ （ $A\neq B$ ），则称无理数 $\alpha$ 大于 $\beta$ ，记为 $\alpha >\beta$ 。

无理数小于（ $<$ ）的概念可由大于（ $>$ ）的概念定义，即 $\beta <\alpha$ 当且仅当 $\alpha >\beta$ 。如此得到實數系的大小關係，其性質有：

任意实数 $\alpha ,\beta$ ，必有且只有下列关系式之一成立： $\alpha =\beta ,\alpha >\beta ,\alpha <\beta$ 。
传递性：若实数 $\alpha >\beta ,\beta >\gamma$ ，则 $\alpha >\gamma$ 。对于小于（ $<$ ）的情形，传递性同样成立。