拓撲排序

计算机科学领域,有向图的拓扑排序是其顶点的线性排序,使得对于从顶点到顶点的每个有向边在排序中都在之前。

例如,图形的顶点可以表示要执行的任务,并且边可以表示一个任务必须在另一个任务之前执行的约束;在这个应用中,拓扑排序只是一个有效的任务顺序。

当且仅当图中没有定向环时(即有向无环图),才有可能进行拓扑排序。

任何有向无环图至少有一个拓扑排序。已知有算法可以在线性时间内,构建任何有向无环图的拓扑排序。

图论中,由一个有向无环图的顶点组成的序列,当且仅当满足下列条件时,才能称为该的一个拓扑排序(英語:Topological sorting):

  1. 序列中包含每个顶点,且每个顶点只出现一次;
  2. 若A在序列中排在B的前面,则在图中不存在从B到A的路径

算法编辑

卡恩算法编辑

卡恩于1962年提出了该算法。简单来说,假设L是存放结果的列表,先找到那些入度为零的节点,把这些节点放到L中,因为这些节点没有任何的父节点。然后把与这些节点相连的边从图中去掉,再寻找图中的入度为零的节点。对于新找到的这些入度为零的节点来说,他们的父节点已经都在L中了,所以也可以放入L。重复上述操作,直到找不到入度为零的节点。如果此时L中的元素个数和节点总数相同,说明排序完成;如果L中的元素个数和节点总数不同,说明原图中存在环,无法进行拓扑排序。

L ← 包含已排序的元素的列表,目前为空
S ← 入度为零的节点的集合
当 S 非空时:
    将节点n从S移走
    将n加到L尾部
    选出任意起点为n的边e = (n,m),移除e。如m没有其它入边,则将m加入S。
    重复上一步。
如图中有剩余的边则:
    return error   (图中至少有一个环)
否则: 
    return L   (L为图的拓扑排序)


深度优先搜索编辑

另一种拓扑排序的方法运用了深度优先搜索。深度优先搜索以任意顺序循环遍历图中的每个节点。若搜索进行中碰到之前已经遇到的节点,或碰到叶节点,则中止算法。


L ← 包含已排序的元素的列表,目前为空
当图中存在未永久标记的节点时:
    选出任何未永久标记的节点n
    visit(n)
function visit(节点 n)
    如n已有永久标记:
        return
    如n已有临时标记:
        stop   (不是定向无环图)
    将n临时标记
    选出以n为起点的边(n,m),visit(m)
    重复上一步
    去掉n的临时标记
    将n永久标记
    将n加到L的起始

例子编辑

在某校的选课系统中,存在这样的规则:每门课可能有若干门先修课,如果要修读某一门课,则必须要先修读此课程所要求的先修课后才能修读。假设一个学生同时只能修读一门课程,那么,被选课系统允许的他修完他需要所有课程的顺序是一个拓扑序。

在这个例子中,每一门课程对应有向图中的一个顶点,每一个先修关系对应一条有向边(从先修课指向需要先修课的课)。

参考资料编辑