極值長度

數學上，共形和擬共形映射的理論中，一個曲線族$\Gamma$的極值長度是$\Gamma$的一個共形不變量。確切來說，設 $D$是複平面中的開集，$\Gamma$是$D$中的路徑族，$f:D\to D'$是一個共形映射。那麼$\Gamma$的極值長度等於 $\Gamma$在$f$下的像的極值長度。因此極值長度是研究共形映射的有用工具。

極值長度的定義

設$D$是複平面中的開集。設$\Gamma$是在$D$中的可求長曲線族。$\rho :D\to [0,\infty ]$是博雷爾可測函數。對任意可求長曲線$\gamma$，設

$L_{\rho }(\gamma ):=\int _{\gamma }\rho \,|dz|$

表示$\gamma$的$\rho$長度，其中$|dz|$表示歐氏線元。（可能有$L_{\rho }(\gamma )=\infty$。）又設

$L_{\rho }(\Gamma ):=\inf _{\gamma \in \Gamma }L_{\rho }(\gamma ).$

$\rho$的面積定義為

$A(\rho ):=\int _{D}\rho ^{2}\,dx\,dy,$

而$\Gamma$的極值長度定義為

$EL(\Gamma ):=\sup _{\rho }{\frac {L_{\rho }(\Gamma )^{2}}{A(\rho )}}\,,$

其中最小上界是取自所有滿足$0<A(\rho )<\infty$的博雷爾可測函數$\rho :D\to [0,\infty ]$。若$\Gamma$包含了不可求長曲線，將$\Gamma$中可求長曲線的子集記為 $\Gamma _{0}$，則 $EL(\Gamma )$定義為$EL(\Gamma _{0})$。

$\Gamma$的模是$1/EL(\Gamma )$。

${\overline {D}}$中的兩個集合在$D$中的極值距離，是在$D$中兩個端點分別在這兩個集合的曲線族的極值長度。

參考

• Ahlfors, Lars V., Conformal invariants: topics in geometric function theory, New York: McGraw-Hill Book Co., 1973, MR 0357743