潘勒韦分析

潘勒韦分析原是保罗·潘勒韦在1895年关于非线性常微分方程可积性的理论,后经数学家推广到分析非线性偏微分方程中,并发展出几种程序,常见的有Ablowitz-Ramani-Segur(ARS)程序、Weiss-Tabor-Carnevale(WTC)程序和Kruskal简化法等。潘勒韦分析的过程复杂,需借助MapleMathematica等计算机代数系统进行运算[1]

Kruskal 简化法原理编辑

对于给定的 偏微分方程

    

假设其解可展开为Laurent级数形式:

 

设定方程解的首项目可以表示为

  


代人原式,平衡φ的幂次,得到一个含共振点的递推关系,如果对于任意的u(j)、φ,此递推关系是自相容的,则原来的方程是可积的。

实例编辑

伯格斯方程的潘勒韦分析

 

作Laurent级数展开

 

其中   是非特征奇异点流型  和 u[0]≠0附近的解析函数。

设定方程解的首项可以表示为

  

代人原式,得到

  

平衡最高阶微商与非线性项,得到:

ρ=1,u[0] = 2 b/a;

  代人偏微分方程,

φ的最低次项为


 

代入伯格斯方程,

因此 j=-1,2

  再带入原方程得:

 

整理后,令其φ 的2次、1次,及常数项为零 得到一组多项式方程组:

 

伯格斯方程通过潘勒韦测试的条件是 在截短短展开式中,φ、u[2] 是任意函数。

经过一系列运算可知 u[2],φ为任意函数,伯格斯方程乃潘勒韦可积,其解有如下形式:

 

参考文献编辑

  1. ^ Inna Shingareva, Carlos Lizarrraga-Celyaya Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple and Mathematica, SpringerWienNewYork