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牛顿法英语:Newton's method)又称为牛顿-拉弗森方法英语:Newton-Raphson method),它是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。方法使用函数泰勒级数的前面几项来寻找方程的根。

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起源编辑

牛顿法最初由艾萨克·牛頓在《流数法》(Method of Fluxions,1671年完成,在牛顿去世后的1736年公开发表)中提出。约瑟夫·鮑易也曾于1690年在Analysis Aequationum中提出此方法。

方法说明编辑

 
蓝线表示方程 而红线表示切线。可以看出  更靠近 所要求的根 

首先,选择一个接近函数 零点 ,计算相应的 和切线斜率 (这里 表示函数 导数)。然后我们计算穿过点 并且斜率为 的直线和 轴的交点的 坐标,也就是求如下方程的解:

 

我们将新求得的点的 坐标命名为 ,通常 会比 更接近方程 的解。因此我们现在可以利用 开始下一轮迭代。迭代公式可化简为如下所示:

 

已有证明牛顿迭代法的二次收敛[1]必须满足以下条件:
 ; 对于所有 ,其中 为区间[αr, α + r],且 在区间其中 内,即   的;
对于所有  是连续的;
 足够接近根 α

其它例子编辑

第一个例子编辑

求方程 的根。令 ,两边求导,得 。由于 ,则 ,即 ,可知方程的根位于  之间。我们从 开始。

 

第二个例子编辑

牛顿法亦可发挥与泰勒展开式,对于函式展开的功能。

  次方根。

 

  

而a的m次方根,亦是x的解,

以牛顿法来迭代:

 

 

 

(或  

應用编辑

求解最值問題编辑

牛頓法也被用於求函數的極值。由於函數取極值的點處的導數值為零,故可用牛頓法求導函數的零點,其疊代式為

 

求拐点的公式以此类推

註解编辑

外部連結编辑