狄利克雷函数

狄利克雷函数(英語:Dirichlet function)是一个定义在实数范围上、值域函数,用 或者 表示。這是一個典型的處處不連續函數。該函數以約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷的名字命名。

狄利克雷函数是一个处处不连续的可测函数,其图像关于 轴成轴对称,是一个偶函数。它处处不连续、处处极限不存在、不可积分

在數學領域,這是一個病態函數。作为很多事情的反例,这个函数在任意一点都不存在极限,並且以任意有理数为周期的周期函数(有理数相加得有理数,无理数加有理数还是无理数)。该函数黎曼不可积,而在其它一些积分中是可积的。

定義编辑

實數域上,狄利克雷函数   定義為

  1. 自变量  有理数时, 
  2. 自变量  无理数时, [1]

狄利克雷函数也可以表达为一个连续函数序列的双重点极限:

 

其中    为整数。

性质编辑

  • 定义在整个数轴上。
  • 无法画出图像。
  • 以任何正有理数为其周期(从而无最小正周期)。
  • 处处无极限、不连续、不可导
  • 在任何有界区间上黎曼不可积。另一方面也作為反例說明了對於黎曼積分,單調收斂定理不成立。
  • 是偶函数。
  • 它在  勒贝格可积

證明编辑

處處不連續编辑

  •   為有理數則  。為證明函數在   處不連續,問題轉化為對任意  ,無論   多麼小,在包含   的長度為   的區間內一點   。試取  ,由於無理數為實數域上的稠密集,無論   取何值,總有   滿足  ,讓  
  •   為無理數,同理,因為有理數為實數域上的稠密集,無論   取何值,總有   滿足  ,讓  

参考资料编辑

  1. ^ 同濟大學數學系,「高等數學」第七版 上冊,第九頁 例10