现金流匹配

现金流匹配是一种套期保值过程，在该过程中，公司或个体将其现金流出（例如债务偿还）与其在给定时间范围内的现金流入相匹配。它是金融免疫策略的一个子集。现金流匹配在固定收益养老金项目中很重要。

用线性规划求解

现金流匹配问题可使用线性规划求解。先假设我们有$j=1,...,n$这$n$个债券，这些债券在$t=1,...,T$这$T$个周期中产生现金流，但是在每个周期中分别存在需要偿还的负债$L_{1},...,L_{T}$需要偿还。假设债券$j$的初始价格为$p_{j}$，在周期$t$中可获得的现金流为$F_{tj}$。因此可以购买债券$x_{j}$在特定周期中获得盈余$s_{t}$，两者均为非负数，因此存在下列限制式：

$${\begin{aligned}\sum _{j=1}^{n}F_{1j}x_{j}-s_{1}&=L_{1}\\\sum _{j=1}^{n}F_{tj}x_{j}+s_{t-1}-s_{t}&=L_{t},\quad t=2,...,T\end{aligned}}$$

我们的目标是将购买债券的初始成本$p^{T}x$最小化，同时还要求每个周期中产生的收益不小于需要偿还的负债。因此可以构建以下线性规划问题：

$$\min _{x,s}\;p^{T}x,\quad {\text{s.t.}}\;Fx+Rs=L,\;x,s\geq 0$$

其中在$F\in \mathbb {R} ^{T\times n}$和$R\in \mathbb {R} ^{T\times T}$需要：

$$R_{t,t}=-1,\quad R_{t+1,t}=1$$

考虑到在购买债券时所涉及到的购买数量是离散的，因此可以使用混合整数线性规划来构建此类问题。