盒拓扑
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在拓扑学中,拓扑空间的笛卡尔积上有數種不同可行的拓扑。其中一个較自然的選擇是盒拓扑(英語:box topology),其中基由组件空间中开集的笛卡尔积给出。 [1]另一种選擇是乘积拓扑,其中基也由组件空间中开集的笛卡尔积给出,但其中只有有限個開集嚴格小於整个组件空间。
虽然盒拓扑的定義比乘积拓扑更直观,但它满足的性質较少。特别地,如果所有组件空间都是紧凑的,则它们的笛卡尔积上的盒拓扑不一定是紧凑的,而它们的笛卡尔积上的乘积拓扑始终是紧凑的。一般而言,盒拓扑比乘积拓扑更精细,尽管在有限乘积的情况下(或当除了有限多个因子之外的所有因子都是平凡的时候),两者是一致的。
定义
编辑對於 使得
或拓扑空间的(可能是无限的)笛卡尔积 ,索引为 ,盒子拓扑 由基
生成。盒子这个名字来自于 的情况,其中基中的開集看起来像盒子。乘積公間 的盒拓扑的有时用 表示。
性質
编辑考慮 上的盒拓扑: [2]
与積拓扑比较
编辑乘积拓扑中基中的開集的定义与上述盒拓撲几乎相同,除了有一个限制:除了有限个U i之外,其他分量開集都等于分量空间X i 。
乘积拓扑满足關於分量空间的映射 的一个非常理想的性质:由分量函数f i定义的乘积映射f : Y → X是连续的当且仅当所有的f i都是连续的。然而這在盒拓扑中不總是成立。這使盒拓扑非常适用于構造反例—许多特性,例如紧凑性、连通性、可度量性等。即使所有因子空间都具有这些特性,在盒拓扑中通常不会保留。
註釋
编辑参考文獻
编辑- Steen, Lynn A., Seebach, J. Arthur Jr. Conuterexamples in Topology. Springer-Verlag. 1970. ISBN 0030794854.
- Willard, Stephen. General Topology. Dover Publications. 2004. ISBN 0-486-43479-6.