特徵多項式

提示：此条目页的主题不是特徵方程式。

在線性代數中，對一個線性自同態（取定基即等價於方陣）可定義其特徵多項式，此多項式包含該自同態的一些重要性質，例如行列式、跡數及特徵值。

定義

設 $\mathbb {F}$ 為域（例如實數或複數域），對佈於 $\mathbb {F}$ 上的 $n\times n$ 矩陣 $A$，定義其特徵多項式為

$p_{A}(t):=\det(tI_{n}-A)\in \mathbb {F} [t]$

這是一個 $n$ 次多項式，其首項係數為一。

一般而言，對佈於任何交換環上的方陣都能定義特徵多項式。

性質

當 $A$ 為上三角矩陣（或下三角矩陣）時，$p_{A}(t)=\prod _{i=1}^{n}(t-\lambda _{i})$，其中 $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ 是主對角線上的元素。

對於二階方陣，特徵多項式能表為 $p_{A}(t)=t^{2}-\mathrm {tr} (A)t+\det(A)$。一般而言，若 $p_{A}(t)=t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\ldots +a_{0}$，則 $a_{0}=(-1)^{n}\det(A)$，$a_{n-1}=-\mathrm {tr} (A)$。

此外：

• 特徵多項式在基變更下不變：若存在可逆方陣 $C$ 使得 $B=C^{-1}AC$，則 $p_{A}(t)=p_{B}(t)$。
• 對任意兩方陣 $A,B$，有 $p_{AB}(t)=p_{BA}(t)$。一般而言，若 $A$ 為 $m\times n$ 矩陣，$B$ 為 $n\times m$ 矩陣（設 $m<n$），則 $p_{AB}(t)=t^{m-n}p_{BA}(t)$
• 凱萊-哈密頓定理：$p_{A}(A)=0$。