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等效位能是將許多效應綜合成單一位能的數學表達式。在古典力學中,等效位能即為離心力位能與位能的和。等效位能常被用來計算行星的軌道及半古典的原子計算,可用來降低問題的維度。

定義编辑

等效位能   可定義如下:

 

L角動量
r 為兩物體之距離。
m 為繞行物體之質量。
U(r) 為位能。

等效力,也就是等效位能的梯度取負號則為:

 

其中   為r方向的單位向量。

特性编辑

等效位能有許多有用的特性:

 

要找到一個圓形軌道的半徑,我們只要將等效位能對r取最小值,或是找 使總力為0:

 

在解出 後,代回 以求等效位能之最大值 

也可求得微小振盪之頻率:

 

其中角分符號代表對r的微分。

例子:重力位能编辑

以質量為m的小天體繞行質量為M的大天體為例,並假設M遠大於m。在牛頓力學中,大天體的運動可被忽略,且能量E及角動量L守恆:

 
 

其中

  為r對時間的微分,
  為小天體之角速度
G 為重力常數。

因為整個運動發生在一平面,所以我們只需要兩個變數r及 。將第二個式子代回第一個式子,整理之後可得

 
 

其中

 

即為等效位能。[Note 1] 如同上式所述,原問題的兩個變數被化簡成單變數的問題。在許多應用中,等效位能可視為一維系統的位能,譬如說用等效位能來決定轉折點及穩定平衡區。類似的方法可用來決定廣義相對論史瓦西度規的軌道。


注释编辑

  1. ^ A similar derivation may be found in José & Saletan, Classical Dynamics: A Contemporary Approach, pgs. 31–33

参考资料编辑

  • José, JV; Saletan, EJ. Classical Dynamics: A Contemporary Approach 1st. Cambridge University Press. 1998. ISBN 0-521-63636-1 .