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光線轉換矩陣分析

(重定向自线性光学

光線轉換矩陣分析(又稱ABCD矩陣分析),是用於某些光學系統,特別是雷射領域的一種光線追蹤技術。它包含一個描述光學系統的光線轉化矩陣(ray transfer matrix),這個矩陣與一代表光線的向量相乘之後,可以得到光線在該系統中的運行軌跡。這類的分析也被應用於加速器物理(accelerator physics)中,用以追蹤通過粒子加速器中磁鐵裝置的粒子,詳情請見电子光学

以下介紹的技術使用了近軸逼近法,此逼近法意即假設所有光線相對於系統的光軸(optical axis)都處於小角度(θ為徑度)、短距離(x)。[1]

目录

定義编辑

光線追蹤技術以兩個平面為參考面, 分別為輸入平面與輸出平面, 這兩個平面均垂直於系統的光軸。此外,為了理論的一般性,我們定義系統的光軸即直角坐標系的z軸。一光線與輸入面呈θ1,從距離光軸 x1 的入射面進入系統,並在距光軸的x2的輸出面呈θ2射出,而n1, n2分別是在輸入面與輸出面中介質的折射率。

這些參數可表成下列關係式:

 

 

 

這個關係式以光線轉化矩陣(RTM, M)將光線向量與輸入、輸出面互相連結,M代表的是在這兩個平面之間的光學系統。根据折射定律与几何关系,可以證明RTM行列式值(determinant)即是兩個折射率的比值。

 

因此,若是輸入面與輸出面在同一個介質中,或是在具有同一個折射率的不同介質中,M等於1,相似的技術可以應用於電路學上,見二埠網路

範例编辑

若兩個面中有空間存在,光線轉換矩陣可以表示成:

 ,

其中d表示兩參考平面的距離(沿著光軸測量),此矩陣有下列關係:

 ,

兩光線各別的參數可表示如下:

 

另一個範例為一薄透鏡,其光線轉畫矩陣為:

 ,

其中f為透鏡的焦距。若遇表示依複合光學系統,光線轉化矩陣可以交互相乘,形成一總括光線轉化矩陣,以下範例唯為一長度為d的空間與薄透鏡的複合系統:

 .

注意,矩陣的乘法並沒有交換率,因此下面的系統先為一薄透鏡,後為一空間。

 .

因此,矩陣必須照順序排好。不同的矩陣可以代表不同折射率的介質,或者是面鏡的反射等等。

光線轉化矩陣表格编辑

簡易的光學元素

成分元素 矩陣 註解
傳輸在具有常數折射率的空間   d為傳輸距離
折射在平坦的表面   n1 為入射時的環境折射率

n2 為折射後的環境折射率

折射在曲面   R 為曲率半徑,當 R > 0 為凹面

n1 為入射時的環境折射率
n2 為折射後的環境折射率

從平坦面鏡反射  
從曲面鏡反射   R 為曲率半徑,當 R > 0 為凹面,可用於近軸近似法
薄透鏡   f 為透鏡的焦距, 當 f > 0 為凸透鏡

唯有在焦距遠大於透鏡厚度時成立

厚透鏡   n1 為透鏡外的折射率

n2 為透鏡內的折射率
R1 為第一表面的曲率半徑
R2 為第二表面的曲率半徑
t 為透鏡的中心厚度

單直角稜鏡   k = (cos /cos ) 是beam expansion的因素, 當  為入射角,   為折射角, d 為稜鏡的路徑長, n 為稜鏡的折射率。 這個舉證應用在orthogonal beam exit。

共振穩定性编辑

RTM在模擬光學共振系統的時候特別有用,像是雷射。在最簡單的情況下由兩個完全相同,具100%反射率、取率半徑R相互距離為d的面鏡組成。為了達到光學追蹤的目的,上述的系統可以等同於由一系列焦距為R/2,彼此間的距離為d的薄透鏡所組成的系統,此結構又被稱為a lens equivalent duct或lens equivalent waveguide. 上述系統每一個波導下的RTM如下:

 .

光學轉化矩陣分析此時就可以決定一個波導的穩定性(等同於共振器),意即RTM可以找出光可以週期性地再聚焦,並待在波導內的狀況。我們可以找到系統中所有光的”eigenrays”,入射向量在每個mentioned sections的波導乘上一個實數或是複數的 λ 將會等於1。 使得:

 .

此為一本徵方程式:

 ,

其中I為一2x2單位矩陣。 我們可以進一步計算此轉化矩陣的本徵值:

 ,

可導出以下特徵方程式:

 ,

其中

 

是RTM的軌,且

 

是RTM行列式值的倒數,帶入消去後我們可以得到:

 ,

其中

 

是穩定參數。本徵值是本徵方程式的解,由一元二次方程式可以解出:

 

現在,考慮一個光線通過系統N次:

 .

如果此波導是穩定的,所有的光都不會被隨意的引道到偏離主軸很遠的地方,意即λN必須是有限的。吾人假設g2>1,則兩本徵值均為實數,又因為λ+λ- = 1 ,因此其中一個的絕對值必須大於1,這也暗示了代表本徵向量的光線不會收斂。因此在依穩定的波導中,g2≤1,以及本徵值可以用複數形式表示:

 ,

以g=cos(φ)表示。

假設   ,   ,  的本徵向量,此兩向量橫跨所有向量空間,因為他們是正交 因此輸入的向量可以被表示成:

 ,

  and  為某常數

再通過N個波導後,輸出則為:

 ,

這代表一個週期函數。

高斯光束的光線轉化矩陣编辑

光線轉化矩陣的建立也可以用於描述高斯光束(Gaussian beams),若有一高斯光束波長為λ0,曲率半徑為R,光點大小w,折射率n,我們可以定義出一複數光束參數(complex beam parameter) q:

 .

此光束可以轉移至一具有下列光線轉化矩陣的光學系統:

 ,

其中k為標準化常數,此常數可以讓光束向量的第二個成分為1,利用矩陣乘法:

 

 

由上式除以下式可得:

 ,

此方程式常以倒數形式表示:

 

範例::Free space编辑

假設一光束通過一距離為d的空間,光線轉化矩陣為:  . 因此

 .

這表示,通過一空間會增加半徑d。

範例:薄透鏡编辑

假設一光束通過一焦距為f的薄透鏡,光線轉化矩陣為:

 .

因此

 
 .

再次強調,只有q的實部會被影響,曲率半徑會減少1/f。

另見编辑

參考文獻编辑

  1. ^ An exact method for tracing meridional rays is available here.
  • Bahaa E. A. Saleh and Malvin Carl Teich. Fundamentals of Photonics. New York: John Wiley & Sons. 1991.  Section 1.4, pp. 26 – 36.
  • F. J. Duarte. Tunable Laser Optics. New York: Elsevier-Academic. 2003.  Chapter 6.

外部連結编辑