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组合数学

(重定向自组合论

广义的组合数学英语:Combinatorics)就是离散数学,狭义的组合数学组合计数图论代数结构数理逻辑等的总称。但这只是不同学者在叫法上的区别。总之,组合数学是一门研究可數或离散对象的科学。随着计算机科学的日益发展,组合数学的重要性也日渐凸显,因为计算机科学的核心内容是使用算法处理离散数据

狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态(也称组合模型)的存在、计数以及构造等方面的问题。 组合数学的主要内容有组合计数组合设计组合矩阵组合优化最佳組合)等。

目录

歷史编辑

 
An example of change ringing (with six bells), one of the earliest nontrivial results in graph theory.

最基本的組合數學的思想和枚舉的方法在古老時代就已經出現。西元前6世紀的古印度外科醫生妙聞已經指出可以由6個相異的味道組合出63種相異的結果(每個味道都可以選擇或不選擇,但不能都不選擇,因此有26 − 1=63種組合);羅馬時代希臘史家普魯塔克克律西波斯喜帕恰斯討論了後來顯示與Schröder–Hipparchus數英语Schröder–Hipparchus number有關的枚舉問題[1][2];西元前3世紀的阿基米德在其數學文章Ostomachion英语Ostomachion中考慮了一個拼接拼圖的智力遊戲(tiling puzzle)。

中世紀時,組合數學持續發展(主要是在歐洲外的文明)。西元850年的印度數學家Mahāvīra英语Mahāvīra (mathematician)提供了關於排列數與組合的公式[3][4],甚至可能早在6世紀印度的數學家就對這些公式熟悉[5] 。西元1140年哲學家天文學家阿伯拉罕·伊本·埃茲拉確認了二項式係數的對稱性,而二項式係數公式則是由猶太人數學家Gersonides在西元1321年得到的[6]楊輝三角形最早可追溯至10世紀的數學論文,在中國則首現於13世紀南宋楊輝的《詳解九章算法》。在英格蘭,則出現一些與哈密頓迴路相關的例子[7]

文藝復興時期,與其他數學或科學領域一樣,組合數學再現生機。帕斯卡牛頓雅各布·白努利歐拉等人的研究為此新興領域打下基礎。在更近代時,西爾維斯特MacMahon英语Percy Alexander MacMahon也對組合計數代數組合學作出貢獻。人們此時也對圖論有高度的興趣,例如關於四色問題的領域。

在20世紀下半葉,組合數學成長相當快速,甚至出現數十種新的期刊和會議[8]。 在某種程度上,這樣的成長是由對其他領域的連結與應用所帶動,包括代數機率論泛函分析數論等。

组合数学中的著名问题编辑

  • 計算一些物品在特定條件下分組的方法數目。這些是關於排列組合整數分拆的。
  • 地图着色问题:对世界地图着色,每一個国家使用一种颜色。如果要求相邻国家的颜色相异,是否总共只需四种颜色?這是圖論的問題。
  • 船夫过河问题:船夫要把一匹狼、一只羊和一棵白菜运过河。只要船夫不在场,羊就会吃白菜、狼就会吃羊。船夫的船每次只能运送一种东西。怎样把所有东西都运过河?這是線性規劃的問題。
  • 中国邮差问题:由中国组合数学家管梅谷教授提出。邮递员要穿过城市的每一条路至少一次,怎样行走走过的路程最短?这不是一个NP完全问题,存在多项式复杂度算法:先求出度为奇数的点,用匹配算法算出这些点间的连接方式,然后再用欧拉路径算法求解。這也是圖論的問題。
  • 任务分配问题(也称分配问题):有一些员工要完成一些任务。各个员工完成不同任务所花费的时间都不同。每个员工只分配一项任务。每项任务只被分配给一个员工。怎样分配员工与任务以使所花费的时间最少?這是線性規劃的問題。
  • 如何構造幻方幻方為一方陣,填入不重複之自然數,並使其中每一縱列、橫列、對角線內數字之總和皆相同。

排列编辑

 个元素中取出 个元素, 个元素的排列數量為:

 

賽馬為例,有8匹马参加比赛,玩家需要在彩票上填入前三胜出的马匹的号码,從8匹馬中取出3匹馬來排前3名,排列數量為:

 

因为一共存在336种可能性,因此玩家在一次填入中中奖的概率应该是:

 

不過,中國大陸的教科書[來源請求]則是把從n取k的情況記作  (A代表Arrangement,即排列[9])。

上面的例子是建立在取出元素不重複出現狀況。

 个元素中取出 个元素, 个元素可以重复出现,這排列數量為:

 [10]

四星彩為例,10個數字取4個數字,因可能重複所以排列數量為:

 

这时的一次性添入中奖的概率就应该是:

 

组合编辑

和排列不同的是,组合取出元素的顺序不考虑。

 个元素中取出 个元素, 个元素的组合數量为:

 

不過,中國大陸的教科書[來源請求]則是把從n取k的情況記作 [11]

六合彩為例。在六合彩中从49顆球中取出6顆球的组合數量为:

 

如同排列,上面的例子是建立在取出元素不重複出現狀況。

 个元素中取出 个元素, 個元素可以重複出現,這组合數量为:

 

以取色球為例,每種顏色的球有無限多顆,從8種色球中取出5顆球,這組合數量為:

 

因為組合數量公式特性,重複組合轉換成組合有另一種公式為:

 

另外 也可以記為 [12]

 

总结编辑

 中取  直線排列
(考慮順序)
环状排列 组合
(不考慮順序)
不重复出现
(不放回去)
 
OEIS中的数列A008279
 
OEIS中的数列A111492
 
OEIS中的数列A007318
可重复出现
(再放回去)
 
OEIS中的数列A004248
 
OEIS中的数列A075195
 
OEIS中的数列A097805

参见编辑

參考文獻编辑

  1. ^ Stanley, Richard P.; "Hipparchus, Plutarch, Schröder, and Hough", American Mathematical Monthly 104 (1997), no. 4, 344–350.
  2. ^ Habsieger, Laurent; Kazarian, Maxim; and Lando, Sergei; "On the Second Number of Plutarch", American Mathematical Monthly 105 (1998), no. 5, 446.
  3. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., Mahavira, MacTutor History of Mathematics archive (英语) 
  4. ^ Puttaswamy, Tumkur K., The Mathematical Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians, (编) Selin, Helaine, Mathematics Across Cultures: The History of Non-Western Mathematics, Netherlands: Kluwer Academic Publishers: 417, 2000, ISBN 978-1-4020-0260-1 
  5. ^ Biggs, Norman L. The Roots of Combinatorics. Historia Mathematica. 1979, 6 (2): 109–136. doi:10.1016/0315-0860(79)90074-0. 
  6. ^ Maistrov, L.E., Probability Theory: A Historical Sketch, Academic Press: 35, 1974, ISBN 978-1-4832-1863-2 . (Translation from 1967 Russian ed.)
  7. ^ White, Arthur T.; "Ringing the Cosets", American Mathematical Monthly, 94 (1987), no. 8, 721–746; White, Arthur T.; "Fabian Stedman: The First Group Theorist?", American Mathematical Monthly, 103 (1996), no. 9, 771–778.
  8. ^ See Journals in Combinatorics and Graph Theory
  9. ^ 普通高中课程标准实验教科书 数学 选修2-3 B版. 人民教育出版社. : 10. ISBN 9787107187544. 
  10. ^ 組合數學 ─算法與分析─. 九章出版社. : 29.  OCLC:44527392
  11. ^ 普通高中课程标准实验教科书 数学 选修2-3 B版. 人民教育出版社. : 16. ISBN 9787107187544. 
  12. ^ 組合數學 ─算法與分析─. 九章出版社. : 33.  OCLC:44527392

外部連結编辑