調和數

調和數可以指跟約數和有關的整數歐爾調和數。在數學上,第n個調和數是首n個正整數的倒數和,即

它也等于这些自然数的调和平均值的倒数的倍。它可以推廣到正整數的倒數的之和,即

調和級數的性質编辑

根據定義,調和數滿足遞推關係

 

它也滿足恆等式

 

計算编辑

對於第n項調和數,有以下公式

 

設: ,由此得到

 


對於調和數 ,當n不是太大時,可以直接計算。

當n特別大時,可以進行估算。

因為 

其中 称为欧拉-马斯刻若尼常数

由此得到

 

當n越大時,估算越精確。

更精確的估算是

 

其中 是第k項伯努利數


廣義調和數编辑

廣義調和數滿足

 

由此,我們得到

 
 
 
 
 
 
 
 

對於任意兩個正整數p和q,並且p<q,我們有

 

微積分编辑

對於每一個大於0的x,有

 

由此,得

 

對於每一個n,有

 

其他數列编辑

根據定義,其他類似于調和數的數列有以下計算方法: