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达布变换是1882年法国数学家达布发现的一种求偏微分方程精确显式解的变换法。达布变换在求KdV方程,MKdV方程高维AKNS系统sine-Gordon方程,sinh_Gordon方程高阶Broer Kaup系统的精确解方面,有广泛用途。

1882年,达布研究一维薛定谔方程特征值问题:[1]

λ

他发现作一个变换:

(u,Φ)→(u',Φ')

其中

(x,λ)=(x,λ)(x,λ)

其中时一维薛定谔方程的解,

则当 f ‡0时,u'和 Φ'必定满足另一个相关的一维薛定谔方程

λ

达布变换也称为Bäcklund变换达布方法,其特点在于根据已知的一个解作为种子,经过变换之后,获得完全可积的新方程组,由此得出另一个新的解。[2]

KdV方程的达布变换编辑

1977年Wahlquist等学者发现[3],达布变换也适用于KdV方程,从而将薛定谔方程的达布变换推广为KdV方程的达布变换[4]

KdV方程:

 

是其LAX对的可积条件:

 
 

经过达布变换(u,Φ)→(u',Φ')得到

 
 

因此,只要从LAX对求得一个解 ,然后通过达布变换(u,Φ)→(u',Φ')就可以得到KdV方程的新解,还可以不断进行连锁式达布变换(u,Φ)→(u',Φ')→(u)→(u)……以得到KdV方程大量的解。<ref谷超豪《孤立子理论中的达布变换及其几何应用》2-3页上海科学技术出版社</ref>

矩阵形式编辑

几何应用编辑

负常曲率曲面编辑

 
负常曲率曲面

十九世纪八十年代发现一个负常曲率曲面Sine-Gordon方程一个非零解,又发现通过Bäcklund变换可以从一个负常曲率曲面得到另一个负常曲率曲面[5]

伪球线汇编辑

自对偶楊-米爾斯流编辑

参考文献编辑

  1. ^ 谷超豪孤立子理论中的达布变换及其几何应用》1-2页上海科学技术出版社
  2. ^ 阎振亚著《复杂非线性波的构造性理论及其应用》7页科学出版社2007年
  3. ^ Wahlquist et al, Bäcklund transformation for solitons of the Kortweg-de Vries Equation, Phys Rev Lett 1973,31:1386
  4. ^ 谷超豪《孤立子理论中的达布变换及其几何应用》2-4页上海科学技术出版社
  5. ^ 谷超豪《孤立子理论中的达布变换及其几何应用》160页上海科学技术出版社