鞅中心极限定理的基本内容可陈述如下:令随机变量
X
1
,
X
2
,
…
{\displaystyle X_{1},X_{2},\dots \,}
构成一个鞅 ,即满足条件:
E
[
X
t
+
1
−
X
t
|
X
1
,
…
,
X
t
]
=
0
,
{\displaystyle \mathbb {E} [X_{t+1}-X_{t}\vert X_{1},\dots ,X_{t}]=0\,,}
(鞅的定义)进一步假设这个鞅是有限增量的,即:存在一个固定常数
k
>
0
{\displaystyle k>0}
,有:
|
X
t
+
1
−
X
t
|
≤
k
{\displaystyle |X_{t+1}-X_{t}|\leq k}
对所有
t
{\displaystyle t}
成立。 另假设
|
X
1
|
≤
k
{\displaystyle |X_{1}|\leq k}
也成立。 定义增量的条件方差为:
σ
t
2
=
E
[
(
X
t
+
1
−
X
t
)
2
|
X
1
,
…
,
X
t
]
,
{\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\mathbb {E} [(X_{t+1}-X_{t})^{2}|X_{1},\ldots ,X_{t}],}
并假设所有条件方差之和发散,即下式以概率1成立:
∑
t
=
1
∞
σ
t
2
=
∞
{\displaystyle \sum _{t=1}^{\infty }\sigma _{t}^{2}=\infty }
据此,对任意给定的常数
ν
>
0
{\displaystyle \nu >0}
,可以定义:
τ
ν
=
min
{
t
:
∑
i
=
1
t
σ
i
2
≥
ν
}
.
{\displaystyle \tau _{\nu }=\min \left\{t:\sum _{i=1}^{t}\sigma _{i}^{2}\geq \nu \right\}.}
在所有上述假设成立的条件下,鞅中心极限定理做出如下结论:标准化的鞅随机变量:
X
τ
ν
ν
{\displaystyle {\frac {X_{\tau _{\nu }}}{\sqrt {\nu }}}}
随着
ν
→
+
∞
{\displaystyle \nu \to +\infty \!}
将会依分布收敛 于标准正态分布 。
随机增量的条件方差之和必须发散 编辑
上述定理假设了所有随机增量的条件方差之和为无穷大,即以下条件以概率1成立:
∑
t
=
1
∞
σ
t
2
=
∞
{\displaystyle \sum _{t=1}^{\infty }\sigma _{t}^{2}=\infty }
这样可以确保以概率1,下式成立:
τ
v
<
∞
,
∀
v
≥
0
{\displaystyle \tau _{v}<\infty ,\forall v\geq 0}
并不是所有鞅都满足这个条件,例如恒为零的平凡鞅。
定理的直观理解 编辑
可以通过将
X
τ
ν
ν
{\displaystyle {\frac {X_{\tau _{\nu }}}{\sqrt {\nu }}}}
如下变形来更好地理解鞅中心极限定理:
X
τ
v
v
=
X
1
v
+
1
v
∑
i
=
1
τ
v
−
1
(
X
i
+
1
−
X
i
)
,
∀
τ
v
≥
1
{\displaystyle {\frac {X_{\tau _{v}}}{\sqrt {v}}}={\frac {X_{1}}{\sqrt {v}}}+{\frac {1}{\sqrt {v}}}\sum _{i=1}^{\tau _{v}-1}(X_{i+1}-X_{i}),\forall \tau _{v}\geq 1}
右边的第一项渐近收敛于零,可以忽略。第二项在形式上,与独立同分布随机增量的经典中心极限定理 相似,虽然其中被求和项
X
i
+
1
−
X
i
{\displaystyle X_{i+1}-X_{i}}
互相之间未必独立,但由鞅的定义易知它们互不相关的,因为:
E
[
(
X
i
+
1
−
X
i
)
(
X
i
+
m
+
1
−
X
i
+
m
)
]
=
E
[
E
[
(
X
i
+
1
−
X
i
)
(
X
i
+
m
+
1
−
X
i
+
m
)
|
X
1
,
…
,
X
i
+
m
]
]
=
0
{\displaystyle \mathbb {E} [(X_{i+1}-X_{i})(X_{i+m+1}-X_{i+m})]=\mathbb {E} [\mathbb {E} [(X_{i+1}-X_{i})(X_{i+m+1}-X_{i+m})|X_{1},\ldots ,X_{i+m}]]=0}
Hall, Peter; C. C. Heyde. Martingale Limit Theory and Its Application. New York: Academic Press. 1980. ISBN 0-12-319350-8 . Hall, Peter; C. C. Heyde. Martingale Limit Theory and Its Application. New York: Academic Press. 1980. ISBN 0-12-319350-8 . Hall, Peter; C. C. Heyde. Martingale Limit Theory and Its Application. New York: Academic Press. 1980. ISBN 0-12-319350-8 .
有关定理5.4的讨论以及推论5.3(ii)的正确形式,请参见Bradley, Richard. On some results of MI Gordin: a clarification of a misunderstanding. Journal of Theoretical Probability (Springer). 1988, 1 (2): 115–119. doi:10.1007/BF01046930 .