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高斯-马尔可夫定理

统计学中,高斯-马尔可夫定理(Gauss-Markov Theorem)陈述的是:在线性回归模型中,如果误差满足零均值同方差互不相关,则回归系数的最佳线性无偏估计(BLUE, Best Linear unbiased estimator)就是普通最小二乘法估计

  • 这里最佳的意思是指相较于其他估计量有更小方差的估计量,同时把对估计量的寻找限制在所有可能的线性无偏估计量中。
  • 值得注意的是这里不需要假定误差满足独立同分布(iid)英语iid正态分布,而仅需要满足零均值不相关同方差这三个稍弱的条件。

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表述编辑

简单(一元)线性回归模型编辑

对于简单(一元)线性回归模型,

 

其中  非随机但不能观测到的参数, 非随机且可观测到的一般变量, 不可观测的随机变量,或称为随机误差或噪音,因此 可观测的随机变量。

高斯-马尔可夫定理的假设条件是:

  •   (零均值),
  •   (同方差),
  •   (不相关)。

则对  的最佳线性无偏估计为,

 

多元线性回归模型编辑

对于多元线性回归模型,

 ,  

使用矩阵形式,线性回归模型可简化记为 ,其中采用了以下记号:

  (观测值向量,Vector of Responses),

  (设计矩阵,Design Matrix),

  (参数向量,Vector of Parameters),

  (随机误差向量,Vectors of Error)。

高斯-马尔可夫定理的假设条件是:

  •   (零均值),
  •  ,(同方差且不相关),其中 为n阶单位矩阵(Identity Matrix)。

则对 的最佳线性无偏估计为

 

证明编辑

首先,注意的是这里数据是 而非 ,我们希望找到 对于 的线性估计量,记作

 

其中    分别是    矩阵。

根据零均值假设所得,

 

其次,我们同时限制寻找的估计量为无偏的估计量,即要求 ,因此有

 (零矩阵), 

外部連結编辑