24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏,游戏内容是:从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张,任意抽取4张牌,把牌面上的数(A代表1)运用括号进行运算得出24。每张牌都必须使用一次,但不能重复使用。在不同版本中,对J、Q、和K的处理有些差异。一个常见的版本是把J、Q、和K去除,或当成10;还有一个版本是把J表示11,Q表示12,K代表13。

有些组合有不同种算法,例如2,4,6,Q四张牌可用 2 + 4 + 6 + 12 = 24 或 4×6 ÷ 2 + 12 = 24 或 12 ÷ 4×(6 + 2) = 24等来求解。也有些组合算不出24,如1、1、1、1 和 6、7、8、8等组合。

较有难度的24点编辑

虽然大多数24点存在很多解法,有相当一部分数字组合只存在唯一的解法。这种组合往往较有难度,也较为有趣。这里总结一些常见的组合。

分数或小数运算编辑

虽然给出4个数字都是整数,中间步骤中有时会出现分数或小数。这种4个数字的组合往往较有难度。一个经典的例子是1,5,5,5,其解答为5×(5 − 1 ÷ 5) = 24;另外 一个例子是3,3,8,8,其解答为8 ÷ (3 - 8 ÷ 3) = 24。因为后者用到了两次除法,其解法比较难以想到。另外一些类似的组合为:

数字组合 解法 数字组合 解法
 2,  4, 10, 10 (2 + 4 ÷ 10)×10  2,  5,  5, 10 (5 − 2 ÷ 10)×5
 2,  7,  7, 10 (2 + 10 ÷ 7)×7  3,  3,  7,  7 (3 + 3 ÷ 7)×7
 4,  4,  7,  7 (4 − 4 ÷ 7)×7  2,  2, 11, 11 (2 + 2 ÷ 11)×11
 2,  2, 13, 13 (2 − 2 ÷ 13)×13  1,  3,  4,  6 6 ÷ (1 − 3 ÷ 4)
 2,  3,  5, 12 12 ÷ (3 − 5 ÷ 2)  1,  8, 12, 12 12 ÷ (12 ÷ 8 - 1)

大数/奇数运算编辑

大多数组合中,中间步骤只会涉及到一些较小的数字(≤32)。但是有些组合中会涉及到一些较大数字,这些组合通常较有难度。比如4、4、10、10的解法为(10×10 − 4) ÷ 4 = 24,5、6、6、9的解法为6×9 − 5×6 = 24。此外如果运算涉及到一些奇数的运算也会增加难度,比如6、9、9、10的解法为9×10 ÷ 6 + 9 = 24。一些例子如下:

数字组合 解法 数字组合 解法
 1,  3,  9, 10 (1 + 10)×3 − 9  7,  8,  8, 10 10×8 − 7×8
 9, 11, 12, 12 11×12 − 9×12  1,  2,  7,  7 (7×7 − 1) ÷ 2
 3,  8,  8, 10 (8×10 − 8) ÷ 3  4,  8,  8, 11 (8×11 + 8) ÷ 4
 5, 10, 10, 13 (10×13 − 10) ÷ 5  1,  5, 11, 11 (11×11 - 1) ÷ 5
 1,  6, 11, 13 (11×13 + 1) ÷ 6  1,  7, 13, 13 (13×13 − 1) ÷ 7


计算复杂性排行编辑

下面 17 组是由计算机根据计算复杂性和结构找到的最难组合,完整的 566 组有解(多组解则取最简单的情况)情况如附录。

数字组合 解法 数字组合 解法 数字组合 解法
1,3,4,6 (6/(1-(3/4))) 1,2,7,7 (((7*7)-1)/2) 3,3,7,7 (((3/7)+3)*7)
1,4,5,6 (4/(1-(5/6))) 3,5,10,10 (3*(10-(10/5))) 2,7,7,10 (((10/7)+2)*7)
3,3,8,8 (8/(3-(8/3))) 3,8,8,10 (((10*8)-8)/3) 2,2,7,10 (((10/2)+7)*2)
1,6,6,8 (6/(1-(6/8))) 4,4,10,10 (((10*10)-4)/4) 3,3,6,6 (3*((6/3)+6))
1,4,5,6 (6/((5/4)-1)) 1,5,5,5 ((5-(1/5))*5) 2,4,10,10 (10*((4/10)+2))
2,5,5,10 ((5-(2/10))*5)
4,4,7,7 ((4-(4/7))*7)

24点的组合数学编辑

其实独立的24点的个数并不多。如果每张牌面的数值被限制在1到K之间,独立的数字组合数由有重复的组合数给出。:

 

譬如,如果最大的牌面数值为10,那么独立的数字组合为715个,远比10000要小;如果最大的牌面数值为13,那么独立的数字组合为1820个。这是因为其他的组合可以通过简单的数字交换得到。

可以用枚举证明,如果最大牌面数值为10,在715个组合中,有149个组合是没有解的。此外,如果我们随机的取4个1-10之间的数字,无解的概率为1442/10000大致为1/7。如果最大牌面数值为13,则会有458个组合无解(总数为1820)。

推广编辑

24点游戏可以被推广到多张牌(n>4)的情形。通常我们假定这n张牌是从一副牌中选出的,也就是说,每个数字至多出现4次。比如在5张牌、最大数值为10的情况下,有1992种不同的组合方式。其中无解的比例大大降低,一共为如下37种。如果最大数值为13,则无解的总数扩大为80。

1 1 1 1 2 1 1 1 1 3 1 1 1 1 4 1 1 1 1 5 1 1 1 2 2 1 1 1 2 3
1 1 1 9 9 1 1 1 9 10 1 1 1 10 10 1 1 2 2 2 1 1 6 7 7 1 1 7 7 7
1 1 9 9 9 1 1 9 9 10 1 1 10 10 10 1 5 9 9 9 1 6 7 7 7 1 7 7 7 7
1 7 9 9 9 1 8 9 9 10 1 8 9 10 10 1 9 9 9 9 1 9 9 9 10 1 9 9 10 10
1 9 10 10 10 1 10 10 10 10 2 9 9 9 9 3 5 5 5 5 4 9 9 9 9 6 7 7 7 7
6 10 10 10 10 8 9 9 9 10 8 9 9 10 10 9 9 9 9 10 9 9 9 10 10 9 9 10 10 10
9 10 10 10 10

注意到,以上罗列的情形中并没有5个相同数字的组合,比如,5个1,这是因为一副牌最多只有4个相同数字的牌。

在6张牌的情况下,4905种不同的组合方式中仅有3种组合是无解的:1 1 1 1 2 2,9 9 9 10 10 10 和9 9 10 10 10 10。在7张牌的情况下,所有组合方式(10890种)都有解。

影响编辑

该游戏在两国都十分流行,也是课堂教学的内容之一。[1]


附录编辑

该游戏 566 组有解(多组解则取最简单的情况)的完整清单。

  1. 1 1 1 8  ((1+(1+1))*8)       2. 1 1 2 6  ((1+(1+2))*6)       3. 1 1 2 7  ((1+2)*(1+7))    
  4. 1 1 2 8  (((1/1)+2)*8)       5. 1 1 2 9  ((1+2)*(9-1))       6. 1 1 210  ((10+2)*(1+1))   
  7. 1 1 3 4  (4*((1+1)*3))       8. 1 1 3 5  ((1+3)*(1+5))       9. 1 1 3 6  (3*((1+1)+6))    
 10. 1 1 3 7  (3*((1/1)+7))      11. 1 1 3 8  ((1-1)+(3*8))      12. 1 1 3 9  ((3+9)*(1+1))    
 13. 1 1 310  (3*(10-(1+1)))     14. 1 1 4 4  (4*((1+1)+4))      15. 1 1 4 5  (4*((1/1)+5))    
 16. 1 1 4 6  ((1-1)+(4*6))      17. 1 1 4 7  ((4-1)*(1+7))      18. 1 1 4 8  ((4+8)*(1+1))    
 19. 1 1 4 9  ((1-4)*(1-9))      20. 1 1 410  ((10*(1+1))+4)     21. 1 1 5 5  ((5-1)*(1+5))    
 22. 1 1 5 6  ((5-(1/1))*6)      23. 1 1 5 7  ((5+7)*(1+1))      24. 1 1 5 8  ((5-(1+1))*8)    
 25. 1 1 6 6  ((6+6)*(1+1))      26. 1 1 6 8  ((6/(1+1))*8)      27. 1 1 6 9  (((1+1)*9)+6)    
 28. 1 1 710  (10+((1+1)*7))     29. 1 1 8 8  (((1+1)*8)+8)      30. 1 2 2 4  ((1+2)*(2*4))    
 31. 1 2 2 5  ((2+2)*(1+5))      32. 1 2 2 6  ((1+2)*(2+6))      33. 1 2 2 7  ((2+2)*(7-1))    
 34. 1 2 2 8  (((2-1)+2)*8)      35. 1 2 2 9  ((1+(2+9))*2)      36. 1 2 210  (2+((1+10)*2))   
 37. 1 2 3 3  ((1+3)*(2*3))      38. 1 2 3 4  (4*((1+2)+3))      39. 1 2 3 5  ((1+2)*(3+5))    
 40. 1 2 3 6  ((2+(3-1))*6)      41. 1 2 3 7  ((3*7)+(1+2))      42. 1 2 3 8  ((1+(3+8))*2)    
 43. 1 2 3 9  (3*((1-2)+9))      44. 1 2 310  ((1+(10*2))+3)     45. 1 2 4 4  ((1+2)*(4+4))    
 46. 1 2 4 5  (4*((2-1)+5))      47. 1 2 4 6  ((4-1)*(2+6))      48. 1 2 4 7  ((1+(4+7))*2)    
 49. 1 2 4 8  ((1+(4-2))*8)      50. 1 2 4 9  (((1+9)*2)+4)      51. 1 2 410  ((1-4)*(2-10))   
 52. 1 2 5 5  ((1-2)+(5*5))      53. 1 2 5 6  ((1+(5+6))*2)      54. 1 2 5 7  ((5-2)*(1+7))    
 55. 1 2 5 8  ((5+(8-1))*2)      56. 1 2 5 9  ((1+(2*9))+5)      57. 1 2 510  ((10*2)+(5-1))   
 58. 1 2 6 6  (((1+2)*6)+6)      59. 1 2 6 7  ((6+(7-1))*2)      60. 1 2 6 8  ((2*(1+8))+6)    
 61. 1 2 6 9  (1*((2*9)+6))      62. 1 2 610  (10+(2*(1+6)))     63. 1 2 7 7  (((7*7)-1)/2)    
 64. 1 2 7 8  ((1+(2*8))+7)      65. 1 2 7 9  ((1+(2*7))+9)      66. 1 2 710  (10+((1*2)*7))   
 67. 1 2 8 8  (1*((2*8)+8))      68. 1 2 8 9  ((2*8)+(9-1))      69. 1 2 810  (10+(2*(8-1)))   
 70. 1 3 3 3  ((1+3)*(3+3))      71. 1 3 3 4  (3*((1+3)+4))      72. 1 3 3 5  ((5-1)*(3+3))    
 73. 1 3 3 6  ((3*(1+6))+3)      74. 1 3 3 7  (1*((3*7)+3))      75. 1 3 3 8  ((3*(1+8))-3)    
 76. 1 3 3 9  ((1+3)*(9-3))      77. 1 3 310  (3*((1-3)+10))     78. 1 3 4 4  (4*((3-1)+4))    
 79. 1 3 4 5  ((4*5)+(1+3))      80. 1 3 4 6  (6/(1-(3/4)))      81. 1 3 4 7  ((3*7)+(4-1))    
 82. 1 3 4 8  ((4*(1+3))+8)      83. 1 3 4 9  ((3*(1+4))+9)      84. 1 3 410  ((1+3)*(10-4))   
 85. 1 3 5 6  ((1+(3*6))+5)      86. 1 3 5 7  ((7-3)*(1+5))      87. 1 3 5 8  ((1+(3*5))+8)    
 88. 1 3 5 9  ((1-5)*(3-9))      89. 1 3 510  (10+((3*5)-1))     90. 1 3 6 6  ((1+(6-3))*6)    
 91. 1 3 6 7  ((6-3)*(1+7))      92. 1 3 6 8  ((8-(1+3))*6)      93. 1 3 6 9  ((3*(6-1))+9)    
 94. 1 3 610  (1*((10*3)-6))     95. 1 3 7 7  ((3-7)*(1-7))      96. 1 3 7 8  ((7-(1+3))*8)    
 97. 1 3 7 9  ((9/3)*(1+7))      98. 1 3 710  ((1+(10*3))-7)     99. 1 3 8 8  (((1+3)*8)-8)    
100. 1 3 8 9  ((1/3)*(8*9))     101. 1 3 810  ((8/3)*(10-1))    102. 1 3 9 9  ((9/3)*(9-1))    
103. 1 3 910  (((1+10)*3)-9)    104. 1 31010  ((10+10)+(1+3))   105. 1 4 4 4  ((4*(1+4))+4)    
106. 1 4 4 5  (1*((4*5)+4))     107. 1 4 4 6  ((4*(1+6))-4)     108. 1 4 4 7  ((1+(4*4))+7)    
109. 1 4 4 8  ((4*(8-1))-4)     110. 1 4 4 9  (4*((1-4)+9))     111. 1 4 410  ((1*4)*(10-4))   
112. 1 4 5 5  ((4*5)+(5-1))     113. 1 4 5 6  (6/((5/4)-1))     114. 1 4 5 7  ((1+(4*7))-5)    
115. 1 4 5 8  ((8-4)*(1+5))     116. 1 4 5 9  (((4-1)*5)+9)     117. 1 4 510  (4*((1-5)+10))   
118. 1 4 6 6  (((1+4)*6)-6)     119. 1 4 6 7  ((1+(7-4))*6)     120. 1 4 6 8  ((1+(6-4))*8)    
121. 1 4 6 9  ((9-(1+4))*6)     122. 1 4 610  ((10*(4-1))-6)    123. 1 4 7 7  ((7-4)*(1+7))    
124. 1 4 7 8  ((4*(1+7))-8)     125. 1 4 7 9  ((4-7)*(1-9))     126. 1 4 8 8  ((8-(1+4))*8)    
127. 1 4 8 9  ((1+(4*8))-9)     128. 1 4 910  (10+((1+4)+9))    129. 1 41010  (1*((10+10)+4))  
130. 1 5 5 5  ((5-(1/5))*5)     131. 1 5 5 6  ((5*(1+5))-6)     132. 1 5 5 9  ((9-5)*(1+5))    
133. 1 5 510  ((5*(10-5))-1)    134. 1 5 6 6  (1*((5*6)-6))     135. 1 5 6 7  ((1+(5*6))-7)    
136. 1 5 6 8  ((1+(8-5))*6)     137. 1 5 6 9  (1*((9-5)*6))     138. 1 5 610  ((10-6)*(1+5))   
139. 1 5 7 8  ((1+(7-5))*8)     140. 1 5 7 9  ((5-9)*(1-7))     141. 1 5 710  ((5*7)-(1+10))   
142. 1 5 8 8  (((5-1)*8)-8)     143. 1 5 8 9  ((9-(1+5))*8)     144. 1 5 810  (10+((1+5)+8))   
145. 1 5 9 9  ((9+9)+(1+5))     146. 1 5 910  (1*((10+9)+5))    147. 1 51010  ((10+10)+(5-1))  
148. 1 6 6 6  (((6-1)*6)-6)     149. 1 6 6 8  (6/(1-(6/8)))     150. 1 6 6 9  ((1+(9-6))*6)    
151. 1 6 610  (1*((10-6)*6))    152. 1 6 7 9  ((9-6)*(1+7))     153. 1 6 710  (10+((1+6)+7))   
154. 1 6 8 8  ((1+(8-6))*8)     155. 1 6 8 9  ((8+9)+(1+6))     156. 1 6 810  (1*((10+8)+6))   
157. 1 6 9 9  (1*((6+9)+9))     158. 1 6 910  (10+((6-1)+9))    159. 1 7 7 9  ((7+(1+7))+9)    
160. 1 7 710  (1*((10+7)+7))    161. 1 7 8 8  ((8+8)+(1+7))     162. 1 7 8 9  (1*((7+8)+9))    
163. 1 7 810  (10+((7-1)+8))    164. 1 7 9 9  ((9+9)+(7-1))     165. 1 7 910  ((7-10)*(1-9))   
166. 1 8 8 8  (1*((8+8)+8))     167. 1 8 8 9  ((8+9)+(8-1))     168. 1 8 810  ((1+(10-8))*8)   
169. 2 2 2 3  ((2+2)*(2*3))     170. 2 2 2 4  ((2+2)*(2+4))     171. 2 2 2 5  (((2*5)+2)*2)    
172. 2 2 2 7  (((2*7)-2)*2)     173. 2 2 2 8  (((2+2)+8)*2)     174. 2 2 2 9  (2+((2+9)*2))    
175. 2 2 210  ((10*2)+(2+2))    176. 2 2 3 3  ((2+2)*(3+3))     177. 2 2 3 4  (3*((2+2)+4))    
178. 2 2 3 5  (3*((2*5)-2))     179. 2 2 3 6  (((2/2)+3)*6)     180. 2 2 3 7  ((3+(2+7))*2)    
181. 2 2 3 8  ((2-2)+(3*8))     182. 2 2 3 9  ((2+2)*(9-3))     183. 2 2 310  (((10+3)*2)-2)   
184. 2 2 4 4  ((4+(2*4))*2)     185. 2 2 4 5  ((4*5)+(2+2))     186. 2 2 4 6  ((2-2)+(4*6))    
187. 2 2 4 7  (2+((4+7)*2))     188. 2 2 4 8  ((4*(2+2))+8)     189. 2 2 4 9  (2+((2*9)+4))    
190. 2 2 410  ((2+2)*(10-4))    191. 2 2 5 5  ((5+(2+5))*2)     192. 2 2 5 6  (2+((5+6)*2))    
193. 2 2 5 7  ((2*5)+(2*7))     194. 2 2 5 8  (((5+8)*2)-2)     195. 2 2 5 9  ((5+(9-2))*2)    
196. 2 2 510  (10+(2*(2+5)))    197. 2 2 6 6  ((2*6)+(2*6))     198. 2 2 6 7  ((2*(2+7))+6)    
199. 2 2 6 8  ((2*(2+6))+8)     200. 2 2 6 9  (((2*9)-6)*2)     201. 2 2 610  (10+((2*6)+2))   
202. 2 2 7 7  (((7-2)+7)*2)     203. 2 2 7 8  (2+((2*7)+8))     204. 2 2 710  (((10/2)+7)*2)   
205. 2 2 8 8  (((2+2)*8)-8)     206. 2 2 8 9  ((2*9)+(8-2))     207. 2 2 810  (10+((2*8)-2))   
208. 2 2 910  (10+(2*(9-2)))    209. 2 21010  ((10+10)+(2+2))   210. 2 3 3 3  (3*(3+(2+3)))    
211. 2 3 3 5  ((3*(2+5))+3)     212. 2 3 3 6  ((3+(3+6))*2)     213. 2 3 3 7  ((3*(2+7))-3)    
214. 2 3 3 8  (((3/3)+2)*8)     215. 2 3 3 9  ((3*(2+3))+9)     216. 2 3 310  ((10*3)-(2*3))   
217. 2 3 4 4  ((4*(2+3))+4)     218. 2 3 4 5  ((5+(3+4))*2)     219. 2 3 4 6  (2+((3*6)+4))    
220. 2 3 4 7  (((3+7)*2)+4)     221. 2 3 4 8  (((2-3)+4)*8)     222. 2 3 4 9  ((3+9)*(4-2))    
223. 2 3 410  (10+((3*4)+2))    224. 2 3 5 5  ((2-3)+(5*5))     225. 2 3 5 6  ((2+(5-3))*6)    
226. 2 3 5 7  (2+((3*5)+7))     227. 2 3 5 8  ((2*(3+5))+8)     228. 2 3 5 9  ((2+(3*9))-5)    
229. 2 3 510  ((10+(5-3))*2)    230. 2 3 6 6  ((2*(3+6))+6)     231. 2 3 6 7  (3*((2*7)-6))    
232. 2 3 6 8  ((3*6)+(8-2))     233. 2 3 6 9  ((2*6)+(3+9))     234. 2 3 610  ((3-6)*(2-10))   
235. 2 3 7 7  ((3+7)+(2*7))     236. 2 3 7 8  (((7-3)+8)*2)     237. 2 3 7 9  ((3*(7-2))+9)    
238. 2 3 710  ((10*2)+(7-3))    239. 2 3 8 8  ((8-(2+3))*8)     240. 2 3 8 9  ((9-(2*3))*8)    
241. 2 3 810  (10+((2*3)+8))    242. 2 3 9 9  ((9+9)+(2*3))     243. 2 3 910  (10+((2+3)+9))   
244. 2 31010  (10+(2*(10-3)))   245. 2 4 4 4  ((4+(4+4))*2)     246. 2 4 4 5  ((4*(2+5))-4)    
247. 2 4 4 6  (2+((4*4)+6))     248. 2 4 4 7  ((4*(7-2))+4)     249. 2 4 4 8  ((2*(4+4))+8)    
250. 2 4 4 9  ((4*(9-2))-4)     251. 2 4 410  ((10*(4-2))+4)    252. 2 4 5 5  (((5+5)*2)+4)    
253. 2 4 5 6  ((2*(4+5))+6)     254. 2 4 5 7  ((5+7)*(4-2))     255. 2 4 5 8  (((2-4)+5)*8)    
256. 2 4 5 9  ((9-5)*(2+4))     257. 2 4 510  (10+((2*5)+4))    258. 2 4 6 6  ((2+(6-4))*6)    
259. 2 4 6 7  ((4+6)+(2*7))     260. 2 4 6 8  ((2*6)+(4+8))     261. 2 4 6 9  (((4-2)*9)+6)    
262. 2 4 610  ((10+6)+(2*4))    263. 2 4 7 7  (((7+7)*2)-4)     264. 2 4 7 8  (4*((2*7)-8))    
265. 2 4 7 9  ((7+(2*4))+9)     266. 2 4 710  (10+((4-2)*7))    267. 2 4 8 8  ((8+8)+(2*4))    
268. 2 4 8 9  ((9-(2+4))*8)     269. 2 4 810  (10+((2+4)+8))    270. 2 4 9 9  ((9+9)+(2+4))    
271. 2 4 910  (10+((2*9)-4))    272. 2 41010  (10*((4/10)+2))   273. 2 5 5 7  ((5+5)+(2*7))    
274. 2 5 5 8  (((5/5)+2)*8)     275. 2 5 5 9  ((2*5)+(5+9))     276. 2 5 510  ((5-(2/10))*5)   
277. 2 5 6 6  (((5-2)*6)+6)     278. 2 5 6 7  ((2*6)+(5+7))     279. 2 5 6 8  ((2*5)+(6+8))    
280. 2 5 6 9  (((5/2)*6)+9)     281. 2 5 610  (((10+5)*2)-6)    282. 2 5 7 7  ((2*5)+(7+7))    
283. 2 5 7 8  (((2*5)-7)*8)     284. 2 5 7 9  ((5*7)-(2+9))     285. 2 5 710  (10+((2+5)+7))   
286. 2 5 8 8  ((5*8)-(2*8))     287. 2 5 8 9  ((8+9)+(2+5))     288. 2 5 810  ((10-(2+5))*8)   
289. 2 5 910  ((10*2)+(9-5))    290. 2 51010  (10*((10+2)/5))   291. 2 6 6 6  ((2*6)+(6+6))    
292. 2 6 6 7  (((7-2)*6)-6)     293. 2 6 6 8  (((6/6)+2)*8)     294. 2 6 6 9  ((9-6)*(2+6))    
295. 2 6 610  ((10+6)+(2+6))    296. 2 6 7 8  (((2-6)+7)*8)     297. 2 6 7 9  ((7+(2+6))+9)    
298. 2 6 710  ((10-7)*(2+6))    299. 2 6 8 8  ((8+8)+(2+6))     300. 2 6 8 9  (((2*6)-9)*8)    
301. 2 6 810  ((10+(8-6))*2)    302. 2 6 9 9  (((9-6)+9)*2)     303. 2 6 910  ((6-9)*(2-10))   
304. 2 61010  ((10+10)+(6-2))   305. 2 7 7 8  ((7+(2+7))+8)     306. 2 7 710  (((10/7)+2)*7)   
307. 2 7 8 8  (((2-7)+8)*8)     308. 2 7 8 9  (((7+9)*2)-8)     309. 2 7 910  (10+((7-2)+9))   
310. 2 71010  (((10+7)*2)-10)   311. 2 8 8 8  (((8/8)+2)*8)     312. 2 8 8 9  (((2-8)+9)*8)    
313. 2 8 810  (10+((8-2)+8))    314. 2 8 9 9  ((9+9)+(8-2))     315. 2 8 910  (((8+9)*2)-10)   
316. 2 81010  (((10/10)+2)*8)   317. 2 91010  (10+((10/2)+9))   318. 3 3 3 3  ((3*(3*3))-3)    
319. 3 3 3 4  ((3*(3+4))+3)     320. 3 3 3 5  ((3*5)+(3*3))     321. 3 3 3 6  ((3*(3+3))+6)    
322. 3 3 3 7  (3*((3/3)+7))     323. 3 3 3 8  (3*((3-3)+8))     324. 3 3 3 9  (3*(9-(3/3)))    
325. 3 3 310  ((3*(10-3))+3)    326. 3 3 4 4  ((3*4)+(3*4))     327. 3 3 4 5  (4*((3/3)+5))    
328. 3 3 4 6  ((3-3)+(4*6))     329. 3 3 4 7  (3*((4-3)+7))     330. 3 3 4 8  ((8-4)*(3+3))    
331. 3 3 4 9  ((3*4)+(3+9))     332. 3 3 5 5  ((5*5)-(3/3))     333. 3 3 5 6  ((3*5)+(3+6))    
334. 3 3 5 7  (3*((3*5)-7))     335. 3 3 5 9  ((9-5)*(3+3))     336. 3 3 510  ((10+5)+(3*3))   


337. 3 3 6 6  (3*((6/3)+6))     338. 3 3 6 7  ((3*7)+(6-3))     339. 3 3 6 8  (((3*3)-6)*8)    
340. 3 3 6 9  ((6+(3*3))+9)     341. 3 3 610  ((10-6)*(3+3))    342. 3 3 7 7  (((3/7)+3)*7)    
343. 3 3 7 8  ((7+(3*3))+8)     344. 3 3 7 9  ((3-7)*(3-9))     345. 3 3 8 8  (8/(3-(8/3)))    
346. 3 3 8 9  ((3*(8-3))+9)     347. 3 3 810  (10+((3+3)+8))    348. 3 3 9 9  ((9+9)+(3+3))    
349. 3 3 910  ((3+(10*3))-9)    350. 3 4 4 4  ((4*(3+4))-4)     351. 3 4 4 5  ((4*4)+(3+5))    
352. 3 4 4 6  (((4/4)+3)*6)     353. 3 4 4 7  (3*((4/4)+7))     354. 3 4 4 8  (3*((4-4)+8))    
355. 3 4 4 9  (3*(9-(4/4)))     356. 3 4 410  ((4*(10-3))-4)    357. 3 4 5 5  ((3*5)+(4+5))    
358. 3 4 5 6  (((3-4)+5)*6)     359. 3 4 5 7  ((3*4)+(5+7))     360. 3 4 5 8  ((4*(3+5))-8)    
361. 3 4 5 9  (3*((4-5)+9))     362. 3 4 510  ((10*(5-3))+4)    363. 3 4 6 6  ((3*4)+(6+6))    
364. 3 4 6 8  (3*((8-6)*4))     365. 3 4 6 9  (4*((3-6)+9))     366. 3 4 610  (3*((4-6)+10))   
367. 3 4 7 7  ((3-7)+(4*7))     368. 3 4 7 8  ((4*(7-3))+8)     369. 3 4 7 9  ((4-7)+(3*9))    
370. 3 4 710  (10+((3+4)+7))    371. 3 4 8 9  ((8+9)+(3+4))     372. 3 4 810  ((10-(3+4))*8)   
373. 3 4 9 9  ((3*(9-4))+9)     374. 3 41010  ((4-10)+(10*3))   375. 3 5 5 6  (((5/5)+3)*6)    
376. 3 5 5 7  (3*((5/5)+7))     377. 3 5 5 8  (3*((5-5)+8))     378. 3 5 5 9  (3*(9-(5/5)))    
379. 3 5 6 6  ((6+6)*(5-3))     380. 3 5 6 7  (3*((6-5)+7))     381. 3 5 6 8  (3*((6-5)*8))    
382. 3 5 6 9  (3*((5-6)+9))     383. 3 5 610  ((10+6)+(3+5))    384. 3 5 7 8  ((3*7)+(8-5))    
385. 3 5 7 9  ((7+(3+5))+9)     386. 3 5 710  (3*((5-7)+10))    387. 3 5 8 8  ((8+8)+(3+5))    
388. 3 5 8 9  ((5-8)+(3*9))     389. 3 5 9 9  ((5-9)*(3-9))     390. 3 5 910  ((3*(10-5))+9)   
391. 3 51010  (3*(10-(10/5)))   392. 3 6 6 6  (((6/6)+3)*6)     393. 3 6 6 7  (3*((6/6)+7))    
394. 3 6 6 8  (3*((6-6)+8))     395. 3 6 6 9  ((6+(3+6))+9)     396. 3 6 610  ((10*(6-3))-6)   
397. 3 6 7 7  (((7/7)+3)*6)     398. 3 6 7 8  ((7+(3+6))+8)     399. 3 6 7 9  (3*((6-7)+9))    
400. 3 6 710  (10+((6/3)*7))    401. 3 6 8 8  (((8/8)+3)*6)     402. 3 6 8 9  ((3+9)*(8-6))    
403. 3 6 810  (3*((6-8)+10))    404. 3 6 9 9  (((9/9)+3)*6)     405. 3 6 910  (((3-9)+10)*6)   
406. 3 61010  (((10/10)+3)*6)   407. 3 7 7 7  ((3+7)+(7+7))     408. 3 7 7 8  (3*((7-7)+8))    
409. 3 7 7 9  (3*(9-(7/7)))     410. 3 7 710  (10+((3*7)-7))    411. 3 7 8 8  (3*((8/8)+7))    
412. 3 7 8 9  (3*((7-8)+9))     413. 3 7 9 9  (3*((9/9)+7))     414. 3 7 910  (3*((7-9)+10))   
415. 3 71010  ((10+10)+(7-3))   416. 3 8 8 8  (3*((8-8)+8))     417. 3 8 8 9  (3*(9-(8/8)))    
418. 3 8 810  (((10*8)-8)/3)    419. 3 8 9 9  (3*((9-9)+8))     420. 3 8 910  (10+((8-3)+9))   
421. 3 81010  (3*((10-10)+8))   422. 3 9 9 9  ((9+9)+(9-3))     423. 3 9 910  (3*((9+9)-10))   
424. 3 91010  (3*(9-(10/10)))   425. 4 4 4 4  ((4*4)+(4+4))     426. 4 4 4 5  (4*((4/4)+5))    
427. 4 4 4 6  (4*((4-4)+6))     428. 4 4 4 7  ((7-4)*(4+4))     429. 4 4 4 8  ((4*(4+4))-8)    
430. 4 4 4 9  ((4*(9-4))+4)     431. 4 4 410  (4*((4*4)-10))    432. 4 4 5 5  (4*((5-4)+5))    
433. 4 4 5 6  ((5-(4/4))*6)     434. 4 4 5 7  (4*((4-5)+7))     435. 4 4 5 8  ((8-5)*(4+4))    
436. 4 4 510  ((4*(10-5))+4)    437. 4 4 6 8  (4*((4-6)+8))     438. 4 4 6 9  ((9-6)*(4+4))    
439. 4 4 610  ((10+6)+(4+4))    440. 4 4 7 7  ((4-(4/7))*7)     441. 4 4 7 8  ((4-8)+(4*7))    
442. 4 4 7 9  ((7+(4+4))+9)     443. 4 4 710  ((10-7)*(4+4))    444. 4 4 8 8  ((8+8)+(4+4))    
445. 4 4 8 9  ((4*9)-(4+8))     446. 4 4 810  (4*((4-8)+10))    447. 4 41010  (((10*10)-4)/4)  
448. 4 5 5 5  (4*((5/5)+5))     449. 4 5 5 6  (4*((5-5)+6))     450. 4 5 5 7  (4*(7-(5/5)))    
451. 4 5 5 8  ((4-(5/5))*8)     452. 4 5 5 9  ((4*5)+(9-5))     453. 4 5 510  ((10+5)+(4+5))   
454. 4 5 6 6  (4*((6/6)+5))     455. 4 5 6 7  (4*((5-6)+7))     456. 4 5 6 8  (((4+5)-6)*8)    
457. 4 5 6 9  ((6+(4+5))+9)     458. 4 5 610  (10+((4*5)-6))    459. 4 5 7 7  (4*((7/7)+5))    
460. 4 5 7 8  ((7+(4+5))+8)     461. 4 5 7 9  ((5-9)+(4*7))     462. 4 5 710  ((10*(7-5))+4)   
463. 4 5 8 8  (4*((8/8)+5))     464. 4 5 8 9  (4*((5-8)+9))     465. 4 5 810  (10*((4+8)/5))   
466. 4 5 9 9  (4*((9/9)+5))     467. 4 5 910  (4*((5-9)+10))    468. 4 51010  (4*((10/10)+5))  
469. 4 6 6 6  (4*((6-6)+6))     470. 4 6 6 7  (4*(7-(6/6)))     471. 4 6 6 8  ((4+6)+(6+8))    
472. 4 6 6 9  ((4*9)-(6+6))     473. 4 6 610  ((6/4)*(10+6))    474. 4 6 7 7  ((4+6)+(7+7))    
475. 4 6 7 8  (((4+6)-7)*8)     476. 4 6 7 9  ((6/4)*(7+9))     477. 4 6 710  ((6-10)+(4*7))   
478. 4 6 8 8  (4*((8-8)+6))     479. 4 6 8 9  (4*((9-8)*6))     480. 4 6 810  ((10*(8-6))+4)   
481. 4 6 9 9  (4*((9-9)+6))     482. 4 6 910  (4*((10-9)*6))    483. 4 61010  (4*((10-10)+6))  
484. 4 7 7 7  (4*(7-(7/7)))     485. 4 7 7 8  (4*((7+7)-8))     486. 4 7 8 8  (((4+7)-8)*8)    
487. 4 7 8 9  (4*((7+8)-9))     488. 4 7 810  (10+((7/4)*8))    489. 4 7 9 9  (4*(7-(9/9)))    
490. 4 7 910  (4*((7+9)-10))    491. 4 71010  (4*(7-(10/10)))   492. 4 8 8 8  ((4-(8/8))*8)    
493. 4 8 8 9  (((4+8)-9)*8)     494. 4 8 810  (4*((8+8)-10))    495. 4 8 9 9  ((4-(9/9))*8)    
496. 4 8 910  (((4+9)-10)*8)    497. 4 81010  ((10+10)+(8-4))   498. 4 9 910  (10+((9-4)+9))   
499. 5 5 5 5  ((5*5)-(5/5))     500. 5 5 5 6  ((5-6)+(5*5))     501. 5 5 5 9  ((5+5)+(5+9))    
502. 5 5 6 6  ((5*5)-(6/6))     503. 5 5 6 7  ((6-7)+(5*5))     504. 5 5 6 8  ((5+5)+(6+8))    
505. 5 5 7 7  ((5+5)+(7+7))     506. 5 5 7 8  ((7-8)+(5*5))     507. 5 5 710  (10*((5+7)/5))   
508. 5 5 8 8  ((5*5)-(8/8))     509. 5 5 8 9  ((8-9)+(5*5))     510. 5 5 810  ((8/5)*(10+5))   
511. 5 5 9 9  ((5*5)-(9/9))     512. 5 5 910  ((9-10)+(5*5))    513. 5 51010  ((5*5)-(10/10))  
514. 5 6 6 6  ((5-(6/6))*6)     515. 5 6 6 7  ((5+6)+(6+7))     516. 5 6 6 8  (((8-5)*6)+6)    
517. 5 6 6 9  ((6*9)-(5*6))     518. 5 6 610  (((10-5)*6)-6)    519. 5 6 7 7  ((5-(7/7))*6)    
520. 5 6 7 8  ((5+7)*(8-6))     521. 5 6 7 9  (((7-5)*9)+6)     522. 5 6 8 8  ((5-(8/8))*6)    
523. 5 6 8 9  (((5+8)-9)*6)     524. 5 6 810  ((5*8)-(10+6))    525. 5 6 9 9  ((5-(9/9))*6)    
526. 5 6 910  (((5+9)-10)*6)    527. 5 61010  ((5-(10/10))*6)   528. 5 7 7 9  ((5+7)*(9-7))    
529. 5 7 710  (10+((7-5)*7))    530. 5 7 8 8  (((7-5)*8)+8)     531. 5 7 8 9  ((5*8)-(7+9))    
532. 5 7 810  ((5+7)*(10-8))    533. 5 7 910  (((10-7)*5)+9)    534. 5 71010  (10+((7/5)*10))  
535. 5 8 8 8  ((5*8)-(8+8))     536. 5 8 8 9  (((9-5)*8)-8)     537. 5 8 810  (((5+8)-10)*8)   
538. 5 91010  ((10+10)+(9-5))   539. 6 6 6 6  ((6+6)+(6+6))     540. 6 6 6 8  ((6+6)*(8-6))    
541. 6 6 6 9  (((9-6)*6)+6)     542. 6 6 610  ((10*6)-(6*6))    543. 6 6 7 9  ((6+6)*(9-7))    
544. 6 6 710  (((10-7)*6)+6)    545. 6 6 8 8  ((6/(8-6))*8)     546. 6 6 8 9  (((6+6)-9)*8)    
547. 6 6 810  ((6+6)*(10-8))    548. 6 6 910  ((10*(9-6))-6)    549. 6 7 710  (((7+7)-10)*6)   
550. 6 7 8 9  ((8/(9-7))*6)     551. 6 7 810  ((6*7)-(10+8))    552. 6 7 9 9  ((6*7)-(9+9))    
553. 6 71010  ((10*(10-7))-6)   554. 6 8 8 8  (((8-6)*8)+8)     555. 6 8 8 9  ((8*9)-(6*8))    
556. 6 8 810  (((10-6)*8)-8)    557. 6 8 9 9  ((8/6)*(9+9))     558. 6 8 910  (((10-8)*9)+6)   
559. 6 9 910  (((9/6)*10)+9)    560. 6101010  ((10+10)+(10-6)   561. 7 7 910  (10+((9-7)*7))   
562. 7 8 8 9  (((9-7)*8)+8)     563. 7 8 810  ((10*8)-(7*8))    564. 7 8 910  ((9/(10-7))*8)   
565. 7 81010  (10+((10-8)*7))   566. 8 8 810  (((10-8)*8)+8)                    

参考编辑

  1. ^ 王萍萍, 吴兰, 贾梅. 一节“算24点”活动课的创新教育启示 《中学数学月刊》, 2015 (11) :13-16 ISSN 1004-1176

參見编辑