Meijer G-函数

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Meijer G-函数是荷兰数学家梅耶尔引入的一种特殊函数。它是广义超几何函数的推广,绝大多数的特殊函数都可以用 Meijer G-函数表示出来。

定义

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广义超几何函数有下列一般的积分表达式(参见相关小节):

 

其中积分路径 C 视参数 p, q 的相对大小而定。上面的积分表达式具有 Mellin 逆变换的形式。

Meijer-G 函数是上面积分表达式的一个推广,它的定义为:

 

其中积分路径 C 视参数的相对大小而定[注 1]。但是,为了保证至少一条积分路径有定义,要求

 

在书写 Meijer-G 函数时要注意,上标中的第一个参数和下标中的第二个参数对应的是 bk,而上标中的第二个参数和下标中的第一个参数对应的是 ak

对比上述两式可以得到广义超几何函数和 Meijer-G 函数的关系:

 

基本性质

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和广义超几何函数一样,如果上下两个向量组在合适的位置有相同的元素,则 Meijer-G 函数可以降阶,此处不再赘述。

一般关系式

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Meijer-G 函数的导函数具有下列性质:

 

注意 h 可以取任意整数值,取负数时表示不定积分

另一方面,

 
 
 
 
 
 

上面的式子都可以直接由定义得到。

向量组中两个元素相差整数时的关系式

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又有

 
 
 

微分方程

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由上面一般关系式一节的讨论知 Meijer-G 函数满足下列微分方程,它与广义超几何函数满足的微分方程形式上很类似。

 .

这是一个 max(p,q) 阶的线性微分方程,在 z=0 附近的基本解组可以选取为

 

p=q 时两种取法都可以。

m, n 的取值上就可以看到它们跟广义超几何函数有直接的联系。事实上的确如此,以第一种情况为例,

 

等号右边的 Meijer-G 函数显然就是广义超几何函数。

特殊情形

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因为广义超几何函数是 Meijer-G 函数的特殊情形,故所有可以用广义超几何函数表示的特殊函数都可以用 Meijer-G 函数表示,但是,在个别情况下,用 Meijer-G 函数有更简单的表示式,例子如诺依曼函数,它可以用超几何函数0F1表示,但表示式仅仅是将(第一类)贝塞尔函数的超几何函数表示式代入其定义式中,因此含有两个超几何函数。而用 Meijer-G 函数就可以直接表示为:

 

另外一个例子是不完全伽玛函数对参变量的偏导数,它无法用广义超几何函数表出,但可以用 Meijer-G 函数表出:

 

事实上,不完全伽玛函数对参变量的高阶偏导数也可以用 Meijer-G 函数表出,详见不完全Γ函数一文。

推广

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如同广义超几何函数和Kampé de Fériet函数(双变量的广义超几何函数)的关系那样,Meijer G-函数也可以被推广到两个变量的情况:  

  1. ^ 具体可参见DLMF上的图页面存档备份,存于互联网档案馆

参考文献

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外部链接

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