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斯特林数

(重定向自Stirling數

第一類斯特林數编辑

定義编辑

第一類斯特林數英语Stirling numbers of the first kind可以定義爲對應遞降階乘展開式的各項係數,即

 
其中,  )即爲第一類斯特林數。例如:
 

 

於是    

由此可知, 代數數,或稱爲有符號(第一類)斯特林數(英語:signed Stirling numbers of the first kind)。

有符號斯特林數的絕對值 可以看作(或直接定義爲)把 個元素排列成 個非空圓圈(循環排列)的方法數目。所以 算術數,或稱爲無符號(第一類)斯特林數(英語:unsigned Stirling numbers of the first kind)。無符號斯特林數一般可以記爲  。例如:把   三個數排列成 個非空圓圈,顯然有零種方法;排列成 個非空圓圈,有  兩種方法;排列成 個非空圓圈,有      三種方法;排列成 個非空圓圈,有   一種方法,所以    。可以看到這和前面有符號斯特林數  時的結果一致(只是符號差異)。

與有符號斯特林數類似,無符號斯特林數可以定義爲對應遞進階乘展開式的各項係數,即

 

其中,  )即爲無符號斯特林數。不過要注意,這裏的記號 有時候會用來表示高斯二项式系数

有符號斯特林數和無符號斯特林數有如下關係:

 

拓展示例编辑

無符號斯特林數有更多的應用。例如,將 個元素分成 組,每組內的元素再進行排列的方法數目即可用無符號斯特林數 求得。以 爲例:

  1. (A,B)(C,D)
  2. (A,C)(B,D)
  3. (A,D)(B,C)
  4. (A)(B,C,D)
  5. (A)(B,D,C)
  6. (B)(A,C,D)
  7. (B)(A,D,C)
  8. (C)(A,B,D)
  9. (C)(A,D,B)
  10. (D)(A,B,C)
  11. (D)(A,C,B)

或用有向圖[來源請求]表示如下:

 
s(4,2)=11

遞推關係式编辑

無符號斯特林數有如下遞推關係式

 

其中, ,且初始條件爲    )。

有符號斯特林數有如下遞推關係式:

 

第一類斯特林數表编辑

下表其實是一部分無符號斯特林數,要想獲得有符號斯特林數,可以通過它們之間的關係式:

 

求得。

 k
n 
0 1 2 3 4 5 6
0 1
1 0 1
2 0 1 1
3 0 2 3 1
4 0 6 11 6 1
5 0 24 50 35 10 1
6 0 120 274 225 85 15 1

簡單性質编辑

觀察前面的“第一類斯特林數表”,我們可以得到一些簡單的性質:

   )。

如果 ,我們有

 

或更一般地,如果 ,我們有

 

還有

 
 
 
 
 

注:這裏記號 表示组合数

其他性質编辑

第二類斯特林數编辑

定義编辑

第二類斯特林數英语Stirling numbers of the second kind與第一類斯特林數類似,可以用遞降階乘定義爲

 

其中, [2][3]即爲第二類斯特林數,也可以記爲 [4]。例如:

 

 

將遞降階乘展開並合併同類項,得

 

比較等式兩邊係數,得

 

解得

    

第二類斯特林數計算的是將含有 個元素的集合拆分爲 個非空子集的方法數目[5]。例如:對於集合 ,若拆分爲 個非空子集,顯然有零種方法;拆分爲 個非空子集,只有 一種方法;拆分爲 個非空子集,有      三種方法;拆分爲 個非空子集,有   一種方法。於是    

第二類斯特林數可以使用以下公式進行計算:[6]

 

 進行驗算,有

 

 

於是

 

拓展示例编辑

 個人分成 組的分組方法的數目。例如有甲、乙、丙、丁四人,若所有人分成 組,只能所有人在同一組,因此 ;若所有人分成 組,只能每人獨立一組,因此 ;若分成 組,可以是甲乙一組、丙丁一組,或甲丙一組、乙丁一組,或甲丁一組、乙丙一組,或其中三人同一組另一人獨立一組,即:

  1. {甲, 乙}{丙, 丁}
  2. {甲, 丙}{乙,丁}
  3. {甲, 丁}{乙, 丙}
  4. {甲}{乙, 丙, 丁}
  5. {乙}{甲, 丙, 丁}
  6. {丙}{甲, 乙, 丁}
  7. {丁}{甲, 乙, 丙}

因此 。同理,可以得到 

遞推關係式编辑

第二類斯特林數有與第一類斯特林數類似的遞推關係式:

 

其中, ,且初始條件爲    )。

第二類斯特林數表编辑

下面爲部分第二類斯特林數:

 k
n 
0 1 2 3 4 5 6
0 1
1 0 1
2 0 1 1
3 0 1 3 1
4 0 1 7 6 1
5 0 1 15 25 10 1
6 0 1 31 90 65 15 1

簡單性質编辑

觀察前面的“第二類斯特林數表”,我們可以得到一些簡單的性質:

   )。

如果 ,我們有

 

或更一般地,如果 ,我們有

 

還有

 
 
 
 
 
 
 

其他性質编辑

貝爾數和第二類斯特林數有如下關係:

 

兩類之間的關係编辑

第一類和第二類斯特林數可以看作互爲逆矩陣的關係:

 

以及

 

其中, 克羅內克爾δ

拉赫數编辑

定義编辑

拉赫數英语Lah number是由伊沃·拉赫英语Ivo Lah在1954年發現的[7][8],因爲拉赫數與斯特林數關係密切,所以有時拉赫數也被稱爲第三類斯特林數。可以用遞進階乘和遞降階乘定義爲

 

 

其中,  即爲拉赫數。例如:

 

 

等式兩邊展開並合併同類項,得

 

比較等式兩邊係數,得

 

解得     

 

 

等式兩邊展開並合併同類項,得

 

比較等式兩邊係數,得

 

解得     

以上定義的拉赫數是無符號拉赫數(英語: signed Lah numbers),有符號拉赫數(英語:signed Lah numbers)的定義如下:

 

 

無符號拉赫數計算的是將含有 個元素的集合拆分爲 個非空線性有序子集的方法數目[9]。例如:對於集合 ,若拆分爲 個非空線性有序子集,顯然有零種方法;拆分爲 個非空線性有序子集,有      六種方法;拆分爲 個非空線性有序子集,有            六種方法;拆分爲 個非空線性有序子集,有   一種方法。於是    

無符號拉赫數可以使用以下公式進行計算:

 

有符號拉赫數可以使用以下公式進行計算:

 

拓展示例编辑

 
無符號拉赫數(nk取1到4)

遞推關係式编辑

無符號拉赫數有如下遞推關係:

 

 

其中,    ), 

拉赫數表编辑

下面爲部分無符號拉赫數:

 k
n 
0 1 2 3 4 5 6
0 1
1 0 1
2 0 2 1
3 0 6 6 1
4 0 24 36 12 1
5 0 120 240 120 20 1
6 0 720 1800 1200 300 30 1

簡單性質编辑

觀察前面的“拉赫數表”,我們可以得到一些簡單性質:

   

如果 ,有   

還有

 
 
 
 
 
 

其他性質编辑

無符號拉赫數計算公式可以作進一步拓展:

 
 

無符號拉赫數與兩類斯特林數都有關係[10],關係如下:

 

 進行驗算,有

 

 

於是

 

由無符號拉赫數與兩類斯特林數之間的關係,考慮到兩類斯特林數之間的關係,有

 

其中, 克羅內克爾δ

三類之間的關係编辑

三類斯特林數以及乘方、階乘之間的關係可以用下圖表示:

 

參考資料编辑

  1. ^ Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav. Handbook of Number Theory II. Kluwer Academic Publishers. 2004: 464. ISBN 9781402025464. 
  2. ^ Transformation of Series by a Variant of Stirling's Numbers. Imanuel Marx, The American Mathematical Monthly 69, #6 (June–July 1962). : 530–532,. JSTOR 2311194.. 
  3. ^ Antonio Salmeri (编). Introduzione alla teoria dei coefficienti fattoriali, Giornale di Matematiche di Battaglini 90 (1962). : pp. 44–54. 
  4. ^ Knuth, D.E. (1992) (编). "Two notes on notation", Amer. Math. Monthly, 99. : 403-422. JSTOR 2325085. arXiv:math/9205211. doi:10.2307/2325085. 
  5. ^ Brualdi,R.A. (编). 组合数学(原书第5版). 由冯速等人翻译 . 北京: 机械工业出版社. 2012.4: 176页. ISBN 978-7-111-37787-0. 
  6. ^ "Stirling Number of the Second Kind"
  7. ^ Lah, Ivo. A new kind of numbers and its application in the actuarial mathematics. Boletim do Instituto dos Actuários Portugueses 9. 1954: 7–15. 
  8. ^ John Riordan, Introduction to Combinatorial Analysis, Princeton University Press (1958, reissue 1980) ISBN 978-0-691-02365-6 (reprinted again in 2002 by Dover Publications).
  9. ^ Petkovsek, Marko; Pisanski, Tomaz. Combinatorial Interpretation of Unsigned Stirling and Lah Numbers. Pi Mu Epsilon Journal 12. Fall 2007: 417–424. JSTOR 24340704. 
  10. ^ Comtet, Louis. Advanced Combinatorics. Dordrecht, Holland: Reidel. 1974: 156.