拉克斯-米尔格拉姆定理

拉克斯－米尔格拉姆定理是数学泛函分析的定理，以彼得·拉克斯和阿瑟·米尔格拉姆命名。这定理可用来藉弱形式求解偏微分方程，因此主要用作有限元法的理论基础。

叙述

设

• ${\mathcal {H}}$是实希尔伯特空间，其内积记作$\langle \cdot ,\cdot \rangle$，导出范数$\|\cdot \|$，
• $a(\cdot ,\cdot )$是双线性型，使得

• 在${\mathcal {H}}\times {\mathcal {H}}$上连续：

$\exists \,c>0,\forall (u,v)\in {\mathcal {H}}^{2}\,,\ |a(u,v)|\leq c\|u\|\|v\|$，

• 在${\mathcal {H}}$上强制（有称为${\mathcal {H}}$－椭圆性)：

$\exists \,\alpha >0,\forall u\in {\mathcal {H}}\,,\ a(u,u)\geq \alpha \|u\|^{2}$，

• $L$是${\mathcal {H}}$上的连续线性型。

那么存在唯一的$u\in {\mathcal {H}}$，使得对所有$v\in {\mathcal {H}}$都有$a(u,v)=Lv$：

$(1)\quad \exists !\ u\in {\mathcal {H}},\ \forall v\in {\mathcal {H}},\quad a(u,v)=Lv$。

而且如果$a$是对称的，那么$u$是${\mathcal {H}}$中唯一的元素，使得以下泛函取最小值$J:{\mathcal {H}}\rightarrow \mathbb {R}$，$J(v)={\tfrac {1}{2}}a(v,v)-Lv$对所有$v\in {\mathcal {H}}$，即：

$(2)\quad \exists !\ u\in {\mathcal {H}},\quad J(u)=\min _{v\in {\mathcal {H}}}\ J(v)$。

证明

一般情形

套用里斯表示定理到连续线性型上，可知存在唯一的$f\in {\mathcal {H}}$，使得$Lv=\langle f,v\rangle$对任意$v\in {\mathcal {H}}$成立。

对所有$u\in {\mathcal {H}}$，映射$v\mapsto a(u,v)$是${\mathcal {H}}$上连续线性型，因此同样可知存在唯一的$A_{u}\in {\mathcal {H}}$，使得$a(u,v)=\langle A_{u},v\rangle$对任意$v\in {\mathcal {H}}$成立。易知算子$A:u\mapsto A_{u}$ 是一个${\mathcal {H}}$上连续线性自同态。由此可把$(1)$表示成如下等价形式：

$\exists !\ u\in {\mathcal {H}},\ Au=f$

要证明此命题，只要证得$A$是从${\mathcal {H}}$到${\mathcal {H}}$的双射。首先证明它是单射，再证它是满射。

从$a$的强制性，使用柯西－施瓦茨不等式，得到对任何$v\in {\mathcal {H}}$

$\alpha \|v\|^{2}\leq a(v,v)=\langle Av,v\rangle \leq \|Av\|\|v\|$

从而知对任何$v\in {\mathcal {H}}$

$\|Av\|\geq \alpha \|v\|$ (*)。

这证明了$A$是单射。

要证明满射，考虑算子$A$在${\mathcal {H}}$内的像${\mathcal {Z}}$。

不等式(*)表示，如$Au_{n}$是柯西序列，那么$u_{n}$ 是${\mathcal {H}}$内的柯西序列。由${\mathcal {H}}$的完备性，$u_{n}$收敛至$u\in {\mathcal {H}}$。因$A$连续，得出$Au_{n}$收敛至$Au$。

${\mathcal {Z}}$因此为${\mathcal {H}}$中的闭子空间，由投影定理可知${\mathcal {H}}={\mathcal {Z}}\oplus {\mathcal {Z}}^{\perp }$。

再设元素$w\in {\mathcal {Z}}^{\perp }$，从定义有$\langle Aw,w\rangle =0$，因此

$\alpha \|w\|^{2}\leq a(w,w)=\langle Aw,w\rangle =0$

故得$w=0$。所以${\mathcal {Z}}^{\perp }$为$\{0\}$，证得$A$是满射。

自同态$A$是双射，故在${\mathcal {H}}$内存在唯一的$u$使得$Au=f$，且可以由$u=A^{-1}f$得出。

附注

不用求出$u$，有其范数的上界估计

$\|u\|\leq {\frac {\|L\|'}{\alpha }}$

其中$\|\cdot \|'$表示对偶空间${\mathcal {H}}^{*}$的范数。

对称情形

如果双线性型$a$对称，那么对所有$w\in {\mathcal {H}}$有：

$J(u+w)=J(u)+{\Big (}a(u,w)-Lw{\Big )}+{\frac {1}{2}}a(w,w)$

因$u$是命题(1)的唯一解，有

$J(u+w)=J(u)+{\frac {1}{2}}a(w,w)$

从$a$的强制性有：

$J(u+w)\geq J(u)+{\frac {\alpha }{2}}\|w\|^{2}$

取$v=u+w$，从上式有$J(u)\leq J(v)$对任意$v\in {\mathcal {H}}$成立，因而得到$(2)$的结果。

应用

这定理是有限元法的基础。实际上，若不在${\mathcal {H}}$内求$u$，而是在${\mathcal {H}}$的有限$n$维子空间${\mathcal {H}}_{n}$内求$u_{n}$，那么

• 如果$a$对称，以$a$为内积，$u_{n}$是$u$的投影。
• 给出${\mathcal {H}}_{n}$的基$(\varphi _{i})$，上述问题化为求解线性方程组：

${\underline {\underline {A}}}{\underline {u_{n}}}={\underline {b}}$

其中$A_{ij}=a(\varphi _{j},\varphi _{i})$，$b_{i}=L\varphi _{i}$。

泛函分析中的定理

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